Integrale improprio con parametro

[smarittimo]

Nei vari esercizi di oggi ho accumulato vari dubbi, di cui uno di questi verte sullo studio dell'integraleimproprio con parametro:

$\int_0^(+∞) x^a(root(3) ((x+1)/x)-1) dx$
e bisogna studiarne il comportamento al variare di a in R

Ho pensato di dividerlo in (0,1],[1,+∞)
Per quanto rigurda +∞

Essendo $x^aroot(3)((x+1)/x)-1=x^aroot(3)(1+1/x)-1$
applicando l'equivalenza asintotica che si deduce dal limite notevole $lim_(x->0) ((1+x)^c-1)/x=c$ si ha
$x^a(1/3x)$ ed essendo $1/3\int_1^(+∞)x^(a+1)dx=1/3\int_1^(+∞)1/(x^(-a-1))dx$
$-a-1>1$ cioè se $a<-2$ coverge
$-a-1<=1$ cioè se $a>=-2$ diverge

Ma per quanto riguarda lo studio a 0 non ho la più pallida idea di come fare.

[pilloeffe]

Ciao smarittimo,

Occhio perché hai scritto in modo impreciso e qualche volta anche errato...
In particolare:

1) se $- a - 1 > 1 \iff -a > 2 \iff a < - 2 \implies $ l'integrale converge;
2) se $ - a - 1 \le 1 \iff -a \le 2 \iff a \ge - 2 \implies $ l'integrale diverge.

Per quanto riguarda l'integrale in $(0, 1) $ basta considerare che per $x \to 0^+ \implies 1/x \to +\infty $ per cui

[tex]\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}} - 1 \sim \frac{1}{\sqrt[3]{x}}[/tex]

[smarittimo]

Hai ragione, non capisco come abbia fatto a scrivere una cosa del genere.

Allora provo a portare a termine l'esercizio perché penso ci saranno altri errori...
A questo punto l'integrale da valutare sarebbe $\int_0^1 1/x^(-a+1/3)dx$
e sfruttando il confronto asintotico con tale integrale avremo che l'integrale originario tra (0,1]
diverge se $a<=-2/3$
converge se $a> -2/3$

Detto questo vado a "riassemblare" il tutto:
E qui il mio dubbio, dato che è convergente per valori di a minori di -2 e maggiori di -2/3
Avrei (linea tratteggiata "-----" convergente, e asterischi "*********" divergente)

______-2_______-2/3_____
--------|*************|*********
********|*************|---------
_DIV_____DIV_______DIV

sempre divergente per qualunque valore di a?

[pilloeffe]

"smarittimo":perché penso ci saranno altri errori...

Sì, ci sono, a cominciare dall'integrale che così come l'hai scritto è un integrale indefinito e manca il $dx $: occhio perché non conterei sull'indulgenza dei docenti di Analisi Matematica per questo tipo di errori...

L'integrale $\int_0^1 (dx)/x^{-a + 1/3} $ converge per $- a + 1/3 < 1 \implies a > - 2/3 $, mentre diverge per $- a + 1/3 \ge 1 \implies a \le -2/3 $, poi il grafico che hai fatto è corretto, anche se forse sarebbe stato più chiaro usare la $c$ per convergente e la $d$ per divergente.
Si conclude che non esistono valori di $a \in \RR $ per i quali l'integrale proposto converge.

[smarittimo]

Non so perché ma riscrivendo da carta a pc compio molti errori, ho scambiato convergente con divergente ma era giusto sul grafico perché su carta era giusto

Ho anche corretto quella importante svista nell'integrale per futuri lettori.

Grazie molte.