Integrale improprio con parametro

[davide.fede1]

Salve, non riesco a trovare il valore $a$ per il quale l'integrale $\int_{1}^{2} [(e^x-e)^(a)]/[x^3-1] dx$ converge. Ho scritto: per $x rarr 1$ $[(e^x-e)^(a)]/[x^3-1] ~= 0/0$ rispettivamente di grado $a$ al numeratore ed $1$ al denominatore. Poiché voglio che converga devo avere $a<1$ ma la risposta giusta, secondo quanto riportato sulla prova è $a>0$ ma non capisco come mai. Potete aiutarmi ?

[Weierstress]

Chiaramente la singolarità si ha in un intorno di $x=1$, in cui l'integranda $f(x)=((e^x-e)^a)/(x^3-1)$ diverge. Osserva che $(e^x-e)^a=e^a(e^(x-1)-1)^a∼e^a(x-1)^a$: di conseguenza trascurando le costanti $f∼(x-1)^a/(x^3-1)$. Ora ricorda che $(x^3-1)$ si fattorizza come $(x-1)(x^2+x+1)$ che in un intorno di $x=1$ diventa $3(x-1)$; sostituendo $t=x-1$, si ha che $trarr0$ per $xrarr1$ e quindi $f∼t^a/t=1/t^(1-a)$. Ricordando l'integrale notevole dovresti concludere con facilità.

[davide.fede1]

"Weierstress":Chiaramente la singolarità si ha in un intorno di $x=1$, in cui l'integranda $f(x)=((e^x-e)^a)/(x^3-1)$ diverge. Osserva che $(e^x-e)^a=e^a(e^(x-1)-1)^a∼e^a(x-1)^a$: di conseguenza trascurando le costanti $f∼(x-1)^a/(x^3-1)$. Ora ricorda che $(x^3-1)$ si fattorizza come $(x-1)(x^2+x+1)$ che in un intorno di $x=1$ diventa $3(x-1)$; sostituendo $t=x-1$, si ha che $trarr0$ per $xrarr1$ e quindi $f∼t^a/t=1/t^(1-a)$. Ricordando l'integrale notevole dovresti concludere con facilità.

Grazie mille, ora è tutto molto più chiaro