Integrale improprio con parametro
Ciao a tutti, devo determinare la convergenza dell'integrale $I_a=int_(1/2)^a (e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))dx$
con $a in RR$.
La funzione integranda $f(x)=(e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))$ ha problemi in $U(0)$ e in $U(1)$ per ogni valore di $a$ Quindi comincio a studiare il comportamento dell'integrale in questi intorni:
In $U(0)$, $f∼e^(-1/x)/(x^2(1+x-e))∼1/(x^3e^(1/x))$ e la convergenza è assicurata dall'esponenziale (sono sicuro si possa mostrare in modo più rigoroso).
In $U(1)$, $f∼1/(ex^2(e^x-e))=1/(x^2(e^(x+1)-e^2))∼1/(e^(x+1)-e^2)$; ma $e^(x+1)=e^(x-1+2)=e^2e^(x-1)∼xe^2$, e quindi $f∼1/e^2(x-1)∼1/t$ con $t=x-1$ che va a $0$ per $xrarr1$, e quindi l'integrale diverge.
Dunque l'intervallo di integrazione deve essere tale da non includere $x=1$ come punto di accumulazione e quindi $a<1$.
Sono sicuro però che questo svolgimento sia errato o quantomeno incompleto... voi cosa ne dite?
con $a in RR$.
La funzione integranda $f(x)=(e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))$ ha problemi in $U(0)$ e in $U(1)$ per ogni valore di $a$ Quindi comincio a studiare il comportamento dell'integrale in questi intorni:
In $U(0)$, $f∼e^(-1/x)/(x^2(1+x-e))∼1/(x^3e^(1/x))$ e la convergenza è assicurata dall'esponenziale (sono sicuro si possa mostrare in modo più rigoroso).
In $U(1)$, $f∼1/(ex^2(e^x-e))=1/(x^2(e^(x+1)-e^2))∼1/(e^(x+1)-e^2)$; ma $e^(x+1)=e^(x-1+2)=e^2e^(x-1)∼xe^2$, e quindi $f∼1/e^2(x-1)∼1/t$ con $t=x-1$ che va a $0$ per $xrarr1$, e quindi l'integrale diverge.
Dunque l'intervallo di integrazione deve essere tale da non includere $x=1$ come punto di accumulazione e quindi $a<1$.
Sono sicuro però che questo svolgimento sia errato o quantomeno incompleto... voi cosa ne dite?
Risposte
Prima di approfondire, sarebbe meglio riconsiderare due affermazioni.
Per $[x->0^-]$, la funzione diverge più che esponenzialmente:
$AA a gt= 0 : [lim_(x->0^-)(e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))=+oo] ^^ [lim_(x->0^+)(e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))=0]$
$AA a lt 0 : [lim_(x->0^-)(e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))=-oo] ^^ [lim_(x->0^+)(e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))=0]$
Il caso $[a=1]$ andrebbe trattato con maggiore cautela.
"rasakkandar":
... in $U(0)$ la convergenza è assicurata dall'esponenziale ...
Per $[x->0^-]$, la funzione diverge più che esponenzialmente:
$AA a gt= 0 : [lim_(x->0^-)(e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))=+oo] ^^ [lim_(x->0^+)(e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))=0]$
$AA a lt 0 : [lim_(x->0^-)(e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))=-oo] ^^ [lim_(x->0^+)(e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))=0]$
"rasakkandar":
... per $x rarr 1$ l'integrale diverge ...
Il caso $[a=1]$ andrebbe trattato con maggiore cautela.
Ciao rasakkandar,
Dico che il discorso è un po' più delicato...
In particolare se $a = 0 $ per $x \to 0^+ \implies I(0) $ è convergente; se invece $a \ne 0 $ si ha la stima asintotica seguente:
$I(a) = int_(1/2)^a (e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))dx $[tex]\sim[/tex] $ frac{(- a)^{1/3}}{1 - e} int_(1/2)^a (e^(-1/x))/(x^2) dx = frac{(- a)^{1/3}}{1 - e} [e^{-1/x}]_{1/2}^a = frac{(- a)^{1/3}}{1 - e} (e^{-1/a} - e^{- 2}) $
dal che si deduce che sono guai se $a < 0 $ (perché in tal caso l'intervallo di integrazione include il punto $x = 0$ e l'integrale è divergente quando $x \to 0^- $), mentre non ci sono problemi se $a > 0 $ perché in tal caso l'intervallo di integrazione non include il punto $x = 0$ e quindi l'integrale proposto converge.
Ovviamente poi se $a = 1/2 $ l'integrale proposto converge a $0$: $I(1/2) = 0 $
Per $x \to 1 $ se $a = 1 $ si ha la stima asintotica seguente:
$I(a) = int_(1/2)^a (e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))dx $[tex]\sim[/tex] $ int_(1/2)^1 ((x-1)^(1/3))/(e^2(e^{x - 1}-1)) dx $[tex]\sim[/tex] $ frac{1}{e^2} int_(1/2)^1 frac{(x-1)^(1/3)}{(x - 1)} dx = frac{1}{e^2} int_(1/2)^1 frac{1}{(x - 1)^{2/3}} dx$
e l'ultimo integrale scritto è convergente per confronto con l'integrale improprio notevole essendo $2/3 < 1 $
Se invece $a \ne 1 $ e $a > 1 $ si ha la stima asintotica seguente:
$I(a) = int_(1/2)^a (e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))dx $[tex]\sim[/tex] $ int_(1/2)^a ((1-a)^(1/3))/(e^2(e^{x - 1}-1)) dx $[tex]\sim[/tex] $ frac{(1-a)^(1/3)}{e^2} int_(1/2)^a 1/(x - 1) dx $
e l'ultimo integrale scritto è divergente per confronto con l'integrale improprio notevole essendo $1 $ l'esponente di $(x - 1) $ al denominatore.
Concludendo, se non ho commesso qualche errore, l'integrale improprio proposto mi risulta convergente per $a \in [0, 1] $
"rasakkandar":
voi cosa ne dite?
Dico che il discorso è un po' più delicato...
In particolare se $a = 0 $ per $x \to 0^+ \implies I(0) $ è convergente; se invece $a \ne 0 $ si ha la stima asintotica seguente:
$I(a) = int_(1/2)^a (e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))dx $[tex]\sim[/tex] $ frac{(- a)^{1/3}}{1 - e} int_(1/2)^a (e^(-1/x))/(x^2) dx = frac{(- a)^{1/3}}{1 - e} [e^{-1/x}]_{1/2}^a = frac{(- a)^{1/3}}{1 - e} (e^{-1/a} - e^{- 2}) $
dal che si deduce che sono guai se $a < 0 $ (perché in tal caso l'intervallo di integrazione include il punto $x = 0$ e l'integrale è divergente quando $x \to 0^- $), mentre non ci sono problemi se $a > 0 $ perché in tal caso l'intervallo di integrazione non include il punto $x = 0$ e quindi l'integrale proposto converge.
Ovviamente poi se $a = 1/2 $ l'integrale proposto converge a $0$: $I(1/2) = 0 $
Per $x \to 1 $ se $a = 1 $ si ha la stima asintotica seguente:
$I(a) = int_(1/2)^a (e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))dx $[tex]\sim[/tex] $ int_(1/2)^1 ((x-1)^(1/3))/(e^2(e^{x - 1}-1)) dx $[tex]\sim[/tex] $ frac{1}{e^2} int_(1/2)^1 frac{(x-1)^(1/3)}{(x - 1)} dx = frac{1}{e^2} int_(1/2)^1 frac{1}{(x - 1)^{2/3}} dx$
e l'ultimo integrale scritto è convergente per confronto con l'integrale improprio notevole essendo $2/3 < 1 $
Se invece $a \ne 1 $ e $a > 1 $ si ha la stima asintotica seguente:
$I(a) = int_(1/2)^a (e^(-1/x)(x-a)^(1/3))/(x^2(e^x-e))dx $[tex]\sim[/tex] $ int_(1/2)^a ((1-a)^(1/3))/(e^2(e^{x - 1}-1)) dx $[tex]\sim[/tex] $ frac{(1-a)^(1/3)}{e^2} int_(1/2)^a 1/(x - 1) dx $
e l'ultimo integrale scritto è divergente per confronto con l'integrale improprio notevole essendo $1 $ l'esponente di $(x - 1) $ al denominatore.
Concludendo, se non ho commesso qualche errore, l'integrale improprio proposto mi risulta convergente per $a \in [0, 1] $
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