Integrale improprio con parametro
Buongiorno, con gli integrali impropri ho sempre difficoltà a capire come partire, per esempio in questo:
$ int_(1)^(+oo) (ln(3x-2))/(x*sqrt(x^2-1))^alpha dx $
devo calcolare dunque:
$ lim_(c -> +oo)int_(1)^(c) (ln(3x-2))/(x*sqrt(x^2-1))^alpha dx $
giusto? Ora però non capisco una cosa, in uno ho un problema di definizione al denominatore, è quindi sbagliato calcolare quel lmite? Avrei dovuto calcolare quello per c che tende a 1? Son molto confuso.
Grazie in anticipo a tutti.
$ int_(1)^(+oo) (ln(3x-2))/(x*sqrt(x^2-1))^alpha dx $
devo calcolare dunque:
$ lim_(c -> +oo)int_(1)^(c) (ln(3x-2))/(x*sqrt(x^2-1))^alpha dx $
giusto? Ora però non capisco una cosa, in uno ho un problema di definizione al denominatore, è quindi sbagliato calcolare quel lmite? Avrei dovuto calcolare quello per c che tende a 1? Son molto confuso.
Grazie in anticipo a tutti.
Risposte
Ciao sine nomine,
Attenzione che in questo caso "l'improprietà" si ha sia nel primo che nel secondo estremo di integrazione. Per poter usare più comodamente gli sviluppi in serie, porrei $t := x - 1 \implies x = t + 1 \implies dx = dt $ in modo che per $x = 1 $ si ha $t = 0 $, mentre il secondo estremo di integrazione non cambia:
$ int_{1}^{+\infty} (ln(3x-2))/(x*sqrt(x^2-1))^alpha dx = int_{0}^{+\infty} (ln(1 + 3t))/((t + 1)*sqrt(t^2 + 2t))^alpha dt $
Attenzione che in questo caso "l'improprietà" si ha sia nel primo che nel secondo estremo di integrazione. Per poter usare più comodamente gli sviluppi in serie, porrei $t := x - 1 \implies x = t + 1 \implies dx = dt $ in modo che per $x = 1 $ si ha $t = 0 $, mentre il secondo estremo di integrazione non cambia:
$ int_{1}^{+\infty} (ln(3x-2))/(x*sqrt(x^2-1))^alpha dx = int_{0}^{+\infty} (ln(1 + 3t))/((t + 1)*sqrt(t^2 + 2t))^alpha dt $
Grazie mille!
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