Integrale improprio con parametro
Buongiorno,
devo risolvere il seguente integrale e dire per quali valori di $ alpha $ converge, solo che non so come partire
$ int_(0)^(1) dx/[ln(e^x+sin(x))^alpha] $
quindi devo risolvere
$ lim_(c -> 0^+) int_(c)^(1) dx/[ln(e^x+sin(x))^alpha] $
Un aiutino su come incominciare? Il resto vorrei provare a farlo da solo, grazie in anticipo.
devo risolvere il seguente integrale e dire per quali valori di $ alpha $ converge, solo che non so come partire
$ int_(0)^(1) dx/[ln(e^x+sin(x))^alpha] $
quindi devo risolvere
$ lim_(c -> 0^+) int_(c)^(1) dx/[ln(e^x+sin(x))^alpha] $
Un aiutino su come incominciare? Il resto vorrei provare a farlo da solo, grazie in anticipo.
Risposte
Prova a considerare come si comporta la funzione integranda in un intorno di zero (magari ricordando anche una famosa proprietà dei logaritmi)...
Comunque, sei sicuro di aver riportato correttamente il testo? Non è tutto il logaritmo ad essere elevato ad $alpha$? 
Si hai ragione, ho fatto confusione con le parentesi, il testo corretto è:
$ lim_(c -> 0^+)int_(c)^(1)dx/[ln(e^x+sin(x))]^alpha $
Riguardo alla famosa proprietà dei logaritmi intendi che dovrei portare l'esponente alpha a moltiplicare il logaritmo cosi?
$ lim_(c -> 0^+)int_(c)^(1)dx/(alpha[ln(e^x+sin(x))] ) $
Riguardo all'intorno di zero, io so che per $ x->0 $
$ sin(x)~ x $
mentre $ e^x->1 $
quindi avrei:
$ lim_(c -> 0^+)int_(c)^(1)dx/(alpha[ln(1+x)] ) $
e sempre per $ x->0 $, $ ln(1+x)~ x $ quindi:
$ lim_(c -> 0^+)int_(c)^(1)dx/(alphax) $
fin qua è giusto o sto sbagliando qualcosa? Grazie
$ lim_(c -> 0^+)int_(c)^(1)dx/[ln(e^x+sin(x))]^alpha $
Riguardo alla famosa proprietà dei logaritmi intendi che dovrei portare l'esponente alpha a moltiplicare il logaritmo cosi?
$ lim_(c -> 0^+)int_(c)^(1)dx/(alpha[ln(e^x+sin(x))] ) $
Riguardo all'intorno di zero, io so che per $ x->0 $
$ sin(x)~ x $
mentre $ e^x->1 $
quindi avrei:
$ lim_(c -> 0^+)int_(c)^(1)dx/(alpha[ln(1+x)] ) $
e sempre per $ x->0 $, $ ln(1+x)~ x $ quindi:
$ lim_(c -> 0^+)int_(c)^(1)dx/(alphax) $
fin qua è giusto o sto sbagliando qualcosa? Grazie
Chiedo scusa, la famosa proprietà dei logaritmi andava bene per il primo caso, con il testo sbagliato, ma facendo due calcoli a mente mi sono reso conto che qualcosa non quadrava. 
Quindi si ha $log(x^alpha)=alphalog(x)$ ma $log^alpha(x)!=alphalog(x)$
Quindi si ha $log(x^alpha)=alphalog(x)$ ma $log^alpha(x)!=alphalog(x)$
Ok risolto!
Con il testo corretto ci si riduce a:
$ lim_(c -> 0^+) int_(0)^(1)dx/x^alpha $
$ lim_(c -> 0^+) int_(0)^(1)x^-alphadx $
$ lim_(c -> 0^+)[(x^(1-alpha))/(1-alpha)]_c^1 $
$ lim_(c -> 0^+)1/(1-alpha)-(c^(1-alpha))/(1-alpha) $
Dunque converge per $ alpha<1 $
Con il testo corretto ci si riduce a:
$ lim_(c -> 0^+) int_(0)^(1)dx/x^alpha $
$ lim_(c -> 0^+) int_(0)^(1)x^-alphadx $
$ lim_(c -> 0^+)[(x^(1-alpha))/(1-alpha)]_c^1 $
$ lim_(c -> 0^+)1/(1-alpha)-(c^(1-alpha))/(1-alpha) $
Dunque converge per $ alpha<1 $
Perfetto anche se hai fatto un bel po' di calcoli inutili. $1/x^(alpha)$ è un'integranda notevole, convergente in un intorno di zero per $alpha<1$.
"sine nomine":
Ok risolto!
Con il testo corretto ci si riduce a:
$ lim_(c -> 0^+) int_(0)^(1)dx/x^alpha $
In realtà non è esatto, si riconduce a $lim_(c -> 0^+)int_(0)^(1)dx/(2x)^alpha$, avevi sbagliato a sviluppare con Taylor, ad ogni modo le conclusioni non cambiano, sono giuste.
Mmm, non ci avevo nemmeno fatto caso. Assolutamente vero 
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