Integrale improprio con parametro
Salve, è la prima volta che scrivo in questo forum. 
Mi chiedevo se qualcuno potesse darmi un'idea sul come trattare questo integrale improprio:
\( \int^{\pi^2}_{0} \frac{x^a sin(\sqrt{x}) } {( \pi^2 - x)^a } dx , a \in \Re \)
Bisogna studiarne la convergenza al variare di a. Il problema è che nè si può sperare di riuscire ad integrarlo per poi studiarlo, nè altrettanto si possono usare dei criteri, come il P-test o il confronto asintotico. Forse mi sfugge qualche metodo. Ci ho provato in svariati modi, ma niente. Era in un compito di analisi 1.
Grazie in anticipo
Mi chiedevo se qualcuno potesse darmi un'idea sul come trattare questo integrale improprio:
\( \int^{\pi^2}_{0} \frac{x^a sin(\sqrt{x}) } {( \pi^2 - x)^a } dx , a \in \Re \)
Bisogna studiarne la convergenza al variare di a. Il problema è che nè si può sperare di riuscire ad integrarlo per poi studiarlo, nè altrettanto si possono usare dei criteri, come il P-test o il confronto asintotico. Forse mi sfugge qualche metodo. Ci ho provato in svariati modi, ma niente. Era in un compito di analisi 1.
Grazie in anticipo
Risposte
$pi^2-x=(pi-sqrt(x))(pi+sqrt(x))$ e $sinsqrt(x)=sin(pi-sqrt(x))$
Utilizzando questo suggerimento, risulta che l'integrale è asintotico a
\( \int^{\pi^2}_{0} \frac{1} {(\pi^2 - x)^{a-1}} dx \)
Possibile?
\( \int^{\pi^2}_{0} \frac{1} {(\pi^2 - x)^{a-1}} dx \)
Possibile?
Mmh, no, che fine ha fatto il $x^a$ al numeratore? Inoltre $sin(pi-sqrt(x))$ è asintotico a $pi-sqrt(x)$ per $x$ che tende a $pi^2$, quindi il tutto dovrebbe essere asintotico a $x^a(pi-sqrt(x))/(pi^2-x)^a$, da cui scomponi $pi^2-x$ come ti ho scritto sopra e vedi come si può risolvere.
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