Integrale improprio con parametro
Questi integrali con i parametri proprio non mi riescono.. Ad esempio questo non mi è riuscito:
Devo determinare il carattere dell'integrale al variare del parametro b
$ \ int_ 1^infty [bsqrt(x) + e^(-x)]/ [x+x^(b)] dx $
Ho provato a portare tutto al denominatore e spezzato l'integrale per ricondurmi agli integrali impropri notevoli.. Ma temo di aver sbagliato
potete darmi una mano?
Grazie in anticipo per l'aiuto
Devo determinare il carattere dell'integrale al variare del parametro b
$ \ int_ 1^infty [bsqrt(x) + e^(-x)]/ [x+x^(b)] dx $
Ho provato a portare tutto al denominatore e spezzato l'integrale per ricondurmi agli integrali impropri notevoli.. Ma temo di aver sbagliato
potete darmi una mano?Grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
Per prima cosa determina in quali punti l'integrale presenta problemi. Ovviamente c'è $+\infty$, ma devi anche valutare cosa accade a $x+x^b$ che può essere nullo: tuttavia, essendo l'integrale definito solo su valori positivi, questa situazione non si presenta. A questo punto vedi come si comporta la funzione da integrare quando $x\to+\infty$: poiché in tal caso $e^{-x}\to 0$ il numeratore è asintotico a $b\sqrt{x}$.
Per il denominatore, ricorda che una somma di potenze si comporta, all'infinito, come la potenza di grado maggiore, e pertanto
$$x+x^b\sim\left\{\begin{array}{lcl}
x & & b<1\\ 2x & & b=1\\ x^b & & b>1
\end{array}\right.$$
Quindi se indichiamo con $f$ la funzione si ha
$$f(x)\sim\left\{\begin{array}{lcl}
b\sqrt{x}/x=b/\sqrt{x} & & b<1\\ b\sqrt{x}/2x=b/(2\sqrt{x}) & & b=1\\ b\sqrt{x}/x^b=b/x^{b-1/2} & & b>1
\end{array}\right.$$
Ora, dovresti sapere che la funzione $1/x^{\alpha}$ è integrabile per $x\to+\infty$ solo quando $\alpha>1$: pertanto nei primi due casi la funzione non è integrabile, mentre nell'ultimo lo è solo quando $b-1/2>1\ \Rightarrow\ b>3/2$.
Per il denominatore, ricorda che una somma di potenze si comporta, all'infinito, come la potenza di grado maggiore, e pertanto
$$x+x^b\sim\left\{\begin{array}{lcl}
x & & b<1\\ 2x & & b=1\\ x^b & & b>1
\end{array}\right.$$
Quindi se indichiamo con $f$ la funzione si ha
$$f(x)\sim\left\{\begin{array}{lcl}
b\sqrt{x}/x=b/\sqrt{x} & & b<1\\ b\sqrt{x}/2x=b/(2\sqrt{x}) & & b=1\\ b\sqrt{x}/x^b=b/x^{b-1/2} & & b>1
\end{array}\right.$$
Ora, dovresti sapere che la funzione $1/x^{\alpha}$ è integrabile per $x\to+\infty$ solo quando $\alpha>1$: pertanto nei primi due casi la funzione non è integrabile, mentre nell'ultimo lo è solo quando $b-1/2>1\ \Rightarrow\ b>3/2$.
Grazie mille!!!!!!! Sei stato chiarissimo!!!!!!!
Solo una domanda, a carattere più generale.. Quando è che devo vedere come si comporta la funzione ad entrambi gli estremi oppure ad uno solo (come in questo caso)?
Solo una domanda, a carattere più generale.. Quando è che devo vedere come si comporta la funzione ad entrambi gli estremi oppure ad uno solo (come in questo caso)?
Un'altra domanda se non ti disturbo, questo integrale:
$ \ int_ 1^infty ([1-cos (1/x)]^b)/ sqrt(x-1) dx $
Devo vedere come si comporta per x che tende a infinito.. il denominatore chiaramente si comporta come radice di x, ma il numeratore? Per x che tende a infinito 1/x va a zero, il coseno di zero è uno, per cui il numeratore si annulla... Come deo fare a questo punto?
$ \ int_ 1^infty ([1-cos (1/x)]^b)/ sqrt(x-1) dx $
Devo vedere come si comporta per x che tende a infinito.. il denominatore chiaramente si comporta come radice di x, ma il numeratore? Per x che tende a infinito 1/x va a zero, il coseno di zero è uno, per cui il numeratore si annulla... Come deo fare a questo punto?
Ma tu lo sai cosa è il confronto asintotico? Non sai con cosa confrontare $1-\cos t,\ t\to 0$?
Eh ma io non ho 1-cost con t che tende a zero.. dovrei cambiare variabile anche al denominatore!!
.......
$$1-\cos\frac{1}{x}\sim \frac{1}{2x^2},\qquad x\to+\infty$$
$$1-\cos\frac{1}{x}\sim \frac{1}{2x^2},\qquad x\to+\infty$$
CIao a tutti, sto facendo un esercizio simile e c'è una cosa che proprio non capisco: la prima cosa che hai scritto ciampax, cioè di come si comporta $ x+x^b $ , per b=1 mi è chiaro ma per gli altri due casi no!
Nel mio esercizio alla fine mi ritrovo
$ (-x^(2a)+x^(3a)+x^2)/x^3 ={ ( x^3/x^3 a=1 ),( (-x^(2a))/x^3 01 ):} $
è più o meno la stessa cosa, e anche qui mi è chiaro per a=1, ma per gli altri due casi no! Come fanno a "sparire" le altre x?
Nel mio esercizio alla fine mi ritrovo
$ (-x^(2a)+x^(3a)+x^2)/x^3 ={ ( x^3/x^3 a=1 ),( (-x^(2a))/x^3 0
è più o meno la stessa cosa, e anche qui mi è chiaro per a=1, ma per gli altri due casi no! Come fanno a "sparire" le altre x?
Per il mio caso l'ha spiegato prima, una somma di potenze all'infinito si comporta come la potenza di grado maggiore.. Per questo "spariscono" le altre potenze.
Nel tuo caso bisogna vedere gli estremi del tuo integrale improprio
Nel tuo caso bisogna vedere gli estremi del tuo integrale improprio
Nel mio caso non c'è nessun integrale improprio, devo studiare un limite al variare del parametro a.
Ho $ lim_(x -> 0+)[log(1+x^a)-sin(x^a)+x^2/2]/\(sqrt[1+x^3]-1) $
Semplificando con Taylor mi riduco a quello che ho scritto prima.
Comunque penso di aver capito, ho letto i principi di sostituzione di infiniti e infinitesimi e ora ha tutto più senso
Ho $ lim_(x -> 0+)[log(1+x^a)-sin(x^a)+x^2/2]/\(sqrt[1+x^3]-1) $
Semplificando con Taylor mi riduco a quello che ho scritto prima.
Comunque penso di aver capito, ho letto i principi di sostituzione di infiniti e infinitesimi e ora ha tutto più senso
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