Integrale improprio con parametri

[miuemia]

ciao a tutti ho un problema con il seguente integrale improprio:
$\int_{2}^{+oo}\frac{1}{x^{a}\log^{b}x}$ con $a,b\in RR$ per quali $a,b\in RR$ converge.

ho dimostrato che se $b\leq 0$ allora converge per $a> 1$
pero per $b<0$ qualche suggerimento?

[Noisemaker]

quando $a>1$ converge per qualsiasi valore di $b$ perchè il logaritmo è infinto di ordine inferiore a qualsiasi potenza di $x$ e dunque per $a>1$ quella frazione va a zero di ordine superiore a $1$ e dunque l'integrale converge

[miuemia]

ah giusto...e quindi se $a<1$ risulta che non converge per nessun valore di $b$ per lo stesso motivo. esatto?

[Noisemaker]

in generale hai che
se $0 \begin{align}
\int_{0}^{a}\frac{1}{x^{\alpha}\ln^{\beta}x}=\begin{cases}\mbox{converge se }:& \alpha<1, \forall\,\,\beta\\\mbox{converge se }:& \alpha=1, \beta>1\\
\mbox{diverge se }:& \alpha>1, \forall\,\,\beta\\\mbox{diverge se }:& \alpha=1, \beta\le1\\ \end{cases}
\end{align}

se $a>1$, l'integrale
\begin{align}
\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}\ln^{\beta}x}=\begin{cases}\mbox{converge se }:& \alpha>1, \forall\,\,\beta\\\mbox{converge se }:& \alpha=1, \beta>1\\
\mbox{diverge se }:& \alpha<1, \forall\,\,\beta\\\mbox{diverge se }:& \alpha=1, \beta\le1\\ \end{cases}
\end{align}