Integrale improprio con paramentro
Ciao a tutti
ho davanti a me questo simpatico esercizietto che mi sta facendo diventare matto
devo determinare per quali valori del paramentro $\alpha$ il seguente integrale improprio converge.
$ int_(0)^(oo) e^{x}^alpha dx $
allora... magari la soluzione è una sciocchezza ma aio ho esaurito le idee.
Ho pensato di svolgere l'integrale, e poi calcolare il limite, ma l'integrale di quella funzione non mi ha dato nulla di buono (a meno che io non abbia sbagliato a fare l'integrale)
allora ho pensato di applicare il criterio del confronto asintotico in imponendo che
$ lim_(x -> oo) frac{f(x)}{g(x)} = L $
come funzione $g(x)$ ho pensato di prendere $g(x)=frac{1}{e^x}$ ma anche qui mi sono bloccato in quanto non riesco ad imporre che il limtie del rapporto sia un valore finito
qualcuno potrebbe darmi un suggerimento su come andare avanti?
grazie mille
ho davanti a me questo simpatico esercizietto che mi sta facendo diventare matto
devo determinare per quali valori del paramentro $\alpha$ il seguente integrale improprio converge.
$ int_(0)^(oo) e^{x}^alpha dx $
allora... magari la soluzione è una sciocchezza ma aio ho esaurito le idee.
Ho pensato di svolgere l'integrale, e poi calcolare il limite, ma l'integrale di quella funzione non mi ha dato nulla di buono (a meno che io non abbia sbagliato a fare l'integrale)
allora ho pensato di applicare il criterio del confronto asintotico in imponendo che
$ lim_(x -> oo) frac{f(x)}{g(x)} = L $
come funzione $g(x)$ ho pensato di prendere $g(x)=frac{1}{e^x}$ ma anche qui mi sono bloccato in quanto non riesco ad imporre che il limtie del rapporto sia un valore finito
qualcuno potrebbe darmi un suggerimento su come andare avanti?
grazie mille
Risposte
Se [tex]$\alpha\geq 0$[/tex] l'integrando va a [tex]$+\infty$[/tex] in [tex]$+\infty$[/tex], quindi non hai alcuna possibilità che l'integrale improprio esista finito.
Cosa accade se [tex]$\alpha <0$[/tex]? Ci sono problemi in [tex]$+\infty$[/tex] o nell'altro estremo?
Cosa accade se [tex]$\alpha <0$[/tex]? Ci sono problemi in [tex]$+\infty$[/tex] o nell'altro estremo?
Ciao
grazie per il suggerimento
vediamo allora se ho capito correttamente
Se invece $alpha<0$ la mia funzione intedranda ad $oo$ tende a 1. Quindi adesso mi verrebbe da fare questo ragionamento:
se l'integranda avesse teso a 0 avrei potuto dire con tranquillitá che l'integrale converge, ma tendendo ad uno, l'integrale dovrebbe ricordursi ad una continua somma di aree. Dico bene?
pertano continuando a sommare una grandezza fissa non puó che divergere. è corretto il mio ragionamento?
grazie per il suggerimento
vediamo allora se ho capito correttamente
Se invece $alpha<0$ la mia funzione intedranda ad $oo$ tende a 1. Quindi adesso mi verrebbe da fare questo ragionamento:
se l'integranda avesse teso a 0 avrei potuto dire con tranquillitá che l'integrale converge, ma tendendo ad uno, l'integrale dovrebbe ricordursi ad una continua somma di aree. Dico bene?
pertano continuando a sommare una grandezza fissa non puó che divergere. è corretto il mio ragionamento?
Aspetta un sec...
ho commesso un errore nello scrivere la formula iniziale
l'integrale è
$ int_(0)^(oo) e^{-x}^alpha dx $
quindi se prendo $alpha \ge 0$ quando $x$ tende ad infinito l'integranda tende a 0, quindi potrebbe convergere giusto?
posso dire di essere sicuro che converge, o non ne ho la certezza?
Ammettendo di poterlo dire...
prendendo invece il caso in cui $alpha < 0 $ allora la mia integrada la posso scrivere come
$ e^{ -\frac{1}{x^{-\alpha}} } = \frac{1}{e^{\frac{1}{x^{-\alpha}}}}$
in questo caso quando $x$ tende ad infinito, l'integranda tende a 1. Quindi torno alla domanda del mio ultimo post.
dico bene?
Grazie mille
ho commesso un errore nello scrivere la formula iniziale
l'integrale è
$ int_(0)^(oo) e^{-x}^alpha dx $
quindi se prendo $alpha \ge 0$ quando $x$ tende ad infinito l'integranda tende a 0, quindi potrebbe convergere giusto?
posso dire di essere sicuro che converge, o non ne ho la certezza?
Ammettendo di poterlo dire...
prendendo invece il caso in cui $alpha < 0 $ allora la mia integrada la posso scrivere come
$ e^{ -\frac{1}{x^{-\alpha}} } = \frac{1}{e^{\frac{1}{x^{-\alpha}}}}$
in questo caso quando $x$ tende ad infinito, l'integranda tende a 1. Quindi torno alla domanda del mio ultimo post.
dico bene?
Grazie mille
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