Integrale improprio con log in base variabile

[Rebdiluca]

Ciao, sto preparando l'esame di Analisi 1 e mi sono imbattuto in quest'esercizio che però proprio non riesco a risolvere. Ciò che mi mette in difficoltà è soprattutto l'integrale:

$ lim_(x -> \infty) ( (int_(3)^(x) logul(t) (t+1) dt ) /x ) $ ,

dove il "$ ul(t) $" sta per "logaritmo in base t" però non sono riuscito a capire come inserire una base diversa.
La mia prima idea è stata quella di effettuare un cambiamento di base, cioè:

$ logul(t) (t+1)= ln(t+1)/lnt $ , ma questo mi porta a qualcosa di ancora più complicato.

Grazie in anticipo per l'aiuto.

[donald_zeka]

Perché $ln(t+1)/(lnt)$ sarebbe complicato?

[Rebdiluca]

Ho provato in più modi ma non capisco come risolverlo. Un suggerimento?

[donald_zeka]

Devi risolvere un limite con integrale improprio, non un integrale indefinito. Si vede che $lim t->+oo ln(1+t)/(lnt)=1$ quindi l'integrale improprio al numeratore diverge, puoi quindi applicare Hopital e quindi la x al denominatore va via e ti rimane $limx->+oo ln(1+x)/lnx=1$, quel limite fa 1

[Rebdiluca]

Non ho ben capito il procedimento. Non dovrei prima risolvere l'integrale e poi fare il $ lim_(x -> \infty) $ ?

[donald_zeka]

Assolutamente no, ti basta sapere che è divergente e poi applicare hopital

[donald_zeka]

Negli integrali impropri non bisogna mai risolvere l'integrale.