Integrale improprio con arcotangente, alfa e beta

[Olmec_Greenwall]

Volevo sapere giusto come potrei partire con il seguente integrale

$\int_0^\infty \{(arctg(x))/(x^α (1+x^β)}\dx$

Dovrei prendere una g(x) che sia asintoticamente equivalente, giusto? Il problema è proprio beta che mi confonde le idee... quando avevo solo alfa era più facile capire a quale integrale improprio notevole prendere riferimento...

[gugo82]

Vabbé, dai... In \(0\) il parametro \(\beta\) non lo vedi proprio, mentre in \(\infty\) basta mettere opportunamente in evidenza per andare tranquilli.

[Olmec_Greenwall]

In che senso non lo vedo proprio? Lo devo considerare uguale a 1?

[gugo82]

Non "devi considerare" niente di strano... Devi ragionare sul seguente problema: come si comporta la funzione integranda:
\[
f(x;\alpha ,\beta) := \frac{\arctan x}{x^\alpha\ (1+x^\beta)}
\]
intorno a \(0\) ed intorno a \(\infty\)?

[Olmec_Greenwall]

Mmm, se x è 0, dovrebbe uscire infinito, invece se x è infinito dovrebbe venire 0, parlando semplicemente dei limiti... no?

[gugo82]

E siamo d'accordo... Ma di che ordini parliamo?

[Olmec_Greenwall]

Intanto ho provato a farli solo con alfa (cioè con beta=1), e mi è venuta la seguente roba

Per $x->0$ di $(arctgx)/((x^\alpha)(1+x)$ $\approx x/x^α $ cioè $1/x^α-1$ e quindi $α<2$ e converge
Per $x->infty$ $(arctgx)/((x^\alpha)(1+x)$$ \approx (Π/2)/x^α+1 $ e quindi $α>0$ e converge

[gugo82]

Vabbé.
Ma non vedo che problemi ti possa dare quel \(\beta\), davvero... Come hai fatto i conti con \(1\), puoi fare i conti con \(\beta\) generico.

[Olmec_Greenwall]

Credo che più che altro devo imparare che differenza c'è nel fare gli integrali impropri con un solo parametro e quelli con due parametri, è la prima volta che incappo in uno simile in un testo da esame precedente. Io non studio matematica, però questo esame di analisi lo devo dare

[gugo82]

Scusa, ma prova a fare i conti... Te l'ho detto, non c'è nulla di diverso.
Ma è chiaro che se non provi da te, non lo vedi.

[Olmec_Greenwall]

Capito! Domani ci riprovo a mente più fresca e ti faccio sapere!

[gugo82]

Beh, che ne diresti di dirci com'è andata a finire con l'esercizio?
Ci hai ragionato a mente fresca?

[Olmec_Greenwall]

Sì ma non capisco, con solo alfa posso ricondurre l'integrale improprio a uno di quelli notevoli

$1/x^α$ che converge se $α>1$

Se invece pongo il calcolo su 0 avrei $1/x^(α+β-1)$, quindi l'integrale converge se $β>α+2$? E' questa la soluzione? O, più semplicemente, ancora sto capendo troppo poco degli integrali impropri?

[gugo82]

"Olmec_Greenwall":Se invece pongo il calcolo su 0 avrei $1/x^(α+β-1)$

Ma no...

Guarda che per \(x\to 0\) hai:
\[
\begin{split}
\arctan x &\sim x \\
1+x^\beta &\sim \begin{cases} 1 &\text{, se } \beta \geq 0\\
x^\beta &\text{, se } \beta <0 \text{ (ed è un infinito)}
\end{cases}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\frac{\arctan x}{x^\alpha\ (1+x^\beta)} &\sim \begin{cases} \frac{x}{x^\alpha} &\text{, se } \beta \geq 0\\
\frac{x}{x^\alpha\ x^\beta} &\text{, se } \beta <0
\end{cases}\\
&= \begin{cases} x^{1-\alpha} &\text{, se } \beta \geq 0\\
x^{1-\alpha - \beta} &\text{, se } \beta <0
\end{cases}
\end{split}
\]
Conseguentemente, l'integrando è:

[*:h6pg0qg6] convergente in \(0\) se \(\beta \geq 0\) e \(1-\alpha \geq 0\) oppure se \(\beta < 0\) e \(1-\alpha -\beta \geq 0\), cioé se \(\beta \geq 0\) e \(\alpha \leq 1\) oppure \(\beta <0\) e \(\alpha \leq 1-\beta\);

[/*:m:h6pg0qg6]
[*:h6pg0qg6] infinito (con segno positivo) in \(0\) se \(\beta \geq 0\) e \(1-\alpha<0\) o se \(\beta<0\) e \(1-\alpha -\beta <0\), cioé se \(\beta \geq 0\) ed \(\alpha < 1\) oppure se \(\beta <0\) e \(\alpha <1-\beta\); in tal caso, l'infinito è dotato di ordine e, precisamente, è di ordine \(\alpha -1\) quando \(\beta \geq 0\) oppure di ordine \(\alpha+\beta -1\) se \(\beta <0\).[/*:m:h6pg0qg6][/list:u:h6pg0qg6]

Chiaramente, nei casi in cui c'è convergenza in \(0\), non c'è alcun problema di integrabilità intorno a tale punto; d'altra parte, quando l'integrando è un infinito esso è integrabile se e solo se[nota]Il "solo se" segue dal fatto che l'integrando conserva sempre segno positivo a destra di \(0\).[/nota] il suo ordine risulta minore di \(1\).
Schematizzando:
\[
\begin{split}
f(x;\alpha ,\beta) \text{ integrabile a destra di } 0 \quad &\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \text{è convergente in } 0 &\text{oppure}\\
\text{è un infinito (con segno positivo) d'ordine } <1
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \alpha \leq 1 \text{ e } \beta \geq 0 &\text{oppure}\\
\alpha \leq 1-\beta \text{ e } \beta <0 &\text{oppure}\\
\alpha <2 \text{ e } \beta \geq 0 &\text{oppure}\\
\alpha <2-\beta \text{ e } \beta <0\; .
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \alpha <2 \text{ e } \beta \geq 0 &\text{oppure}\\
\alpha <2-\beta \text{ e } \beta <0\; .
\end{cases}
\end{split}
\]
se non mi inganno. La regione in cui variano i parametri \(\beta\) ed \(\alpha\) è quella al di sotto della linea rossa nella figura seguente.
[asvg]axes("","");
text([5.5,0],"β",below); text([0,5.5],"α",left);
stroke="red"; strokewidth=2; path([[-6,8],[0,2],[6,2]]);[/asvg]

Analogamente, per \(x\to \infty\) si ha:
\[
\begin{split}
\arctan x &\sim \frac{\pi}{2} \\
1+x^\beta &\sim \begin{cases} \text{cost.} &\text{, se } \beta \leq 0\\
x^\beta &\text{, se } \beta >0 \text{ (ed è un infinito)}
\end{cases}
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
\frac{\arctan x}{x^\alpha\ (1+x^\beta)} &\sim \begin{cases} \frac{\pi/2}{\text{cost.}\ x^\alpha} &\text{, se } \beta \leq 0\\
\frac{\pi/2}{x^\alpha\ x^\beta} &\text{, se } \beta >0
\end{cases}\\
&= \begin{cases} \text{cost.}\ x^{-\alpha} &\text{, se } \beta \leq 0\\
\text{cost.}\ x^{-\alpha - \beta} &\text{, se } \beta >0
\end{cases}
\end{split}
\]
in cui \(\text{cost.}\) è una costante \(\geq 0\) che può cambiare riga per riga e caso per caso. Conseguentemente l'integrando è:


[*:h6pg0qg6] infinitesimo in \(\infty\) solo se \(\beta \leq 0\) ed \(-\alpha < 0\) oppure se \(\beta >0\) e \(-\alpha -\beta <0\), ossia se \(\beta \leq 0,\ \alpha >0\) e \(\beta >0,\ \alpha > -\beta\); in tal caso l'infinitesimo è dotato di ordine ed ha ordine \(\alpha\) se \(\beta \leq 0\) oppure ordine \(\alpha + \beta\) se \(\beta >0\);

[/*:m:h6pg0qg6]
[*:h6pg0qg6] convergente verso una \(\text{cost.}>0\) in \(\infty\) solo se \(\beta \leq 0\) ed \(\alpha =0\) oppure se \(\beta >0\) solo se \(-\alpha -\beta =0\);

[/*:m:h6pg0qg6]
[*:h6pg0qg6] infinito in \(\infty\) solo se \(\beta\leq 0\) ed \(\alpha >0\) oppure \(\beta >0\) e \(-\alpha -\beta >0\).[/*:m:h6pg0qg6][/list:u:h6pg0qg6]

Dalla positività della funzione integranda segue che essa è integrabile intorno a \(\infty\) solo se essa è assolutamente integrabile e, dato che la funzione è in \(infty\) un infinito/infinitesimo dotato di ordine, ciò accade se e solo se l'integrando è infinitesimo di ordine \(>1\).
Quindi:
\[
f(x;\alpha ,\beta) \text{ è integrabile intorno a } \infty\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} \alpha >1 \text{ e } \beta \leq 0 &\text{oppure}\\
\alpha > 1-\beta \text{ e } \beta >0
\end{cases}\; ;
\]
la regione di variabilità dei parametri è quella al di sopra della linea azzurra nella figura che segue.
[asvg]axes("","");
text([5.5,0],"β",below); text([0,5.5],"α",left);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; path([[-6,1],[0,1],[6,-5]]);[/asvg]

Dato che, affinché l'integrale sia finito, occorre che l'integrando sia integrabile sia intorno a \(0\) sia intorno a \(\infty\), l'insieme dei parametri per i quali l'integrale è finito si ottiene intersecando le due regioni disegnate sopra, ottenendo questa specie di "papillon" delimitata dalle spezzate rossa ed azzurra:
[asvg]axes("","");
text([5.5,0],"β",below); text([0,5.5],"α",left);
stroke="red"; strokewidth=2; path([[-6,8],[0,2],[6,2]]);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; path([[-6,1],[0,1],[6,-5]]);[/asvg]


P.S.: Ovviamente dovresti controllare un po' i contarielli... Dato che ho avuto un fastidioso moscerino che mi ronzava intorno tutto il giorno.

[Olmec_Greenwall]

Che casino... grazie per il chiarimento! Non pensavo dovessi impostare tutti i valori pure per beta, mi sembrava troppo lungo da fare, e questa cosa andava fatta per un esame che non era nemmeno per l'università di matematica o_o

[stormy1]

[ot]noto con disappunto che una qualsiasi osservazione non gradita viene censurata
non sapevo che tra i moderatori ci fosse anche Erdogan[/ot]

[gugo82]

@ stormy:
[xdom="gugo82"]Ed io noto con dispiacere che alcuni utenti non conoscono il regolamento, né leggono i PM inviati dai moderatori...

A questo punto chiedo: genera più disappunto chi non partecipa ad un forum nell'alveo delle regole, o chi applica tali regole?[/xdom]