Integrale improprio bis
Ho svolto questo altro integrale improprio ma nutro forti dubbi e cerco un raffronto con qualcuno più capace, in realtà è un esercizio modificato di cui non ho soluzione. Per questo cerco qualcuno che possa confermare o smentire il procedimento 
$\int_1^(+∞) sqrtx(log(1+x-2logx) dx$
L'ho così svolto:
$\int_1^(+∞) sqrtx(log(x(1/x+1-logx^2/x)) dx=\int_1^(+∞) sqrtx(log(x(0+1-0))) dx=\int_1^(+∞) 1/(x^(-1/2)*log^-1x) dx$
E per gli integrali impropri notevoli, diverge.
Vi ringrazio molto per l'aiuto che mi state dando su questo forum, nello studio di queste settimane ho accumulato molti dubbi che finalmente sto fugando
.
$\int_1^(+∞) sqrtx(log(1+x-2logx) dx$
L'ho così svolto:
$\int_1^(+∞) sqrtx(log(x(1/x+1-logx^2/x)) dx=\int_1^(+∞) sqrtx(log(x(0+1-0))) dx=\int_1^(+∞) 1/(x^(-1/2)*log^-1x) dx$
E per gli integrali impropri notevoli, diverge.
Vi ringrazio molto per l'aiuto che mi state dando su questo forum, nello studio di queste settimane ho accumulato molti dubbi che finalmente sto fugando
.
Risposte
concordo con la soluzione, forse solo un po' confusionaria la risoluzione (oltretutto perchè la $x$ è diventata $x^2$?). io avrei fatto così:
dobbiamo controllare solo a $+oo$. in tale intorno $log[1+x-2logx] ~~ log[x(1+1/x-2/x logx)] ~~ log x$
quindi l'integrale di partenza è asintotico a $int sqrtx logx dx$ e poi concludi come hai fatto.
mettere gli uguali non è corretto e oltretutto il teorema che ti permette di concludere è quello del criterio asintotico e quindi devi fare vedere che sono asintotici.
dobbiamo controllare solo a $+oo$. in tale intorno $log[1+x-2logx] ~~ log[x(1+1/x-2/x logx)] ~~ log x$
quindi l'integrale di partenza è asintotico a $int sqrtx logx dx$ e poi concludi come hai fatto.
mettere gli uguali non è corretto e oltretutto il teorema che ti permette di concludere è quello del criterio asintotico e quindi devi fare vedere che sono asintotici.
Si gli x^2 sono un refuso di scrittura precedente, a denominatore sono degli x. Grazie per la segnalazione dell'imprecisione sugli uguali, non sapevo bene come formalizzare la scrittura.
In realtà quel denominatore (x^2) è preludio della domanda due a cui già pensavo, cioè se fosse stato:
$\int_1^(+∞) sqrtx(log(1+x^2-2logx) dx$
come potrei svolgerlo?
Grazie mille
In realtà quel denominatore (x^2) è preludio della domanda due a cui già pensavo, cioè se fosse stato:
$\int_1^(+∞) sqrtx(log(1+x^2-2logx) dx$
come potrei svolgerlo?
Grazie mille
in modo del tutto identico, al netto di considerare un 2 negli sviluppi asintotici.
Però arriverei ad avere:
$\int_1^(+∞) 1/(x^(-1/2)*log^-1x^2) dx$
mentre i notevoli del libro risportano solo il caso con arcomento del logaritmo di grado 1
Vale comunque?
$\int_1^(+∞) 1/(x^(-1/2)*log^-1x^2) dx$
mentre i notevoli del libro risportano solo il caso con arcomento del logaritmo di grado 1
Vale comunque?
basta ricordarsi che dalle proprietà dei logaritmi si ha $log a^b = b log a$
Nooo che stupido! Grazie per la pazienza
Guarda un'ultima domanda e ho risolto anche l'ultimo dubbio, se avessi voglia ancora di rispondermi.
Per il criterio del confronto asintotico ho studiato che devono esistere $f(x)>=0$ e $h(x)>0$ integrabili su (a,c] tali che $lim_(x->c-) f(x)/h(x)=m$ (che poi sarebbe la richiesta di equivalenza asintotica ponendo h'(x)=m*h(x)ecc...
Mi è chiaro il concetto, tuttavia in alcuni esercizi non verifica che f(x) e h(x) siano positiva e strettamente positiva,ma solo che abbiano segno costante nell'intervallo di integrazione.
E sinceramente non ne capisco il motivo dato che il teorema richiede chiaramente positività per poter essere invocato.
Guarda un'ultima domanda e ho risolto anche l'ultimo dubbio, se avessi voglia ancora di rispondermi.
Per il criterio del confronto asintotico ho studiato che devono esistere $f(x)>=0$ e $h(x)>0$ integrabili su (a,c] tali che $lim_(x->c-) f(x)/h(x)=m$ (che poi sarebbe la richiesta di equivalenza asintotica ponendo h'(x)=m*h(x)ecc...
Mi è chiaro il concetto, tuttavia in alcuni esercizi non verifica che f(x) e h(x) siano positiva e strettamente positiva,ma solo che abbiano segno costante nell'intervallo di integrazione.
E sinceramente non ne capisco il motivo dato che il teorema richiede chiaramente positività per poter essere invocato.
potrebbe essere perchè se anche fossero negative ma di segno costante moltiplicando per -1 avresti qualcosa di positivo e potresti applicare il teorema
Grazie per tutto.
Buon pomeriggio:)
Buon pomeriggio:)
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