Integrale improprio - argomentazioni
Ciao a tutti,
Vi scrivo perché ho un dubbio sulla risoluzione di un integrale improprio, che è il seguente:
$\int_{0}^{\pi /2} (sen^2(x))/(x^2) dx$
Si può sostituire l'estremo di integrazione $0$ con $b$ e studiare il limite per $b$ che tende a $0$.
Non so se le mie argomentazioni sono valide o se sto sparando eresie a go-go, quindi vi chiedo cosa ne pensate.
A parer mio, l'integrale improprio converge, in quanto sfrutto il limite notevole per $x->0$ di $(sen(x))/x$ .
Se so che la funzione integranda, per $b->0$ e quindi per $x->0$, tende ad un valore finito e non diverge, allora la funzione integrale studiata convergerà.
Cosa ne pensate? Le mie deduzioni sono valide o piene di errori?
Quali sarebbero stati i vostri ragionamenti in questo caso?
Vi ringrazio in anticipo!
Vi scrivo perché ho un dubbio sulla risoluzione di un integrale improprio, che è il seguente:
$\int_{0}^{\pi /2} (sen^2(x))/(x^2) dx$
Si può sostituire l'estremo di integrazione $0$ con $b$ e studiare il limite per $b$ che tende a $0$.
Non so se le mie argomentazioni sono valide o se sto sparando eresie a go-go, quindi vi chiedo cosa ne pensate.
A parer mio, l'integrale improprio converge, in quanto sfrutto il limite notevole per $x->0$ di $(sen(x))/x$ .
Se so che la funzione integranda, per $b->0$ e quindi per $x->0$, tende ad un valore finito e non diverge, allora la funzione integrale studiata convergerà.
Cosa ne pensate? Le mie deduzioni sono valide o piene di errori?
Quali sarebbero stati i vostri ragionamenti in questo caso?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Più che altro l'integrale non è improprio in $x=0$ perché la funzione $\frac{\sin^2 x}{x^2}$ è continua in $x=0$; perciò sì, converge ma perché non è neanche improprio!
Ciò segue dal fatto che, come hai notato tu, il limite è $1$ e perciò si assegna alla funzione tale valore in $x=0$ (la funzione viene prolungata con continuità).
Ciò segue dal fatto che, come hai notato tu, il limite è $1$ e perciò si assegna alla funzione tale valore in $x=0$ (la funzione viene prolungata con continuità).
Innanzitutto ti ringrazio.
Però non capisco.
Il limite della funzione integranda per $x$ che tende a $0$ è uguale a $1$.
La funzione integranda e di conseguenza l'integrale non è però definita in $x=0$ (in quanto $x$ compare al denominatore).
Tale integrale non dovrebbe essere considerato improprio per tale motivo?
Però non capisco.
Il limite della funzione integranda per $x$ che tende a $0$ è uguale a $1$.
La funzione integranda e di conseguenza l'integrale non è però definita in $x=0$ (in quanto $x$ compare al denominatore).
Tale integrale non dovrebbe essere considerato improprio per tale motivo?
No, proprio perché $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2}=1$ possiamo definire
$$f(x):=\begin{cases}
\frac{\sin^2 x}{x^2}, & \text{se} \ x \ne 0 \\
1, & \text{se} \ x=0
\end{cases}$$
Che, come puoi notare, è una funzione continua.
$$f(x):=\begin{cases}
\frac{\sin^2 x}{x^2}, & \text{se} \ x \ne 0 \\
1, & \text{se} \ x=0
\end{cases}$$
Che, come puoi notare, è una funzione continua.
"CLaudio Nine":
A parer mio, l'integrale improprio converge, in quanto sfrutto il limite notevole per $x->0$ di $(sen(x))/x$ .
Se so che la funzione integranda, per $b->0$ e quindi per $x->0$, tende ad un valore finito e non diverge, allora la funzione integrale studiata convergerà.
Ciao Claudio Nine, non so se fraintendo quello che hai scritto, ma mi sembra che ci sia un errore nel ragionamento.
Quando si va a fare un integrale improprio, non è che si fa il limite dell'integrando: prima si fa l'integrale definito, nel nostro caso con estremo di integrazione $b in (0,pi/2)$, poi si fa il limite, nel nostro caso per $b $ che tende a $0$.
E' proprio la definizione di integrale improprio.
"CLaudio Nine":
Però non capisco.
Il limite della funzione integranda per $x$ che tende a $0$ è uguale a $1$.
La funzione integranda e di conseguenza l'integrale non è però definita in $x=0$ (in quanto $x$ compare al denominatore).
Tale integrale non dovrebbe essere considerato improprio per tale motivo?
Direi di sì, è come dice Claudio Nine: l'integrale è improprio. Certo la funzione può essere estesa per continuità, ma la funzione $(senx)/x$ è una cosa, la funzione estesa per continuità è un'altra funzione.
Le dispense di analisi su cui ho studiato danno $ int_(0)^(pi/2) (senx)/x dx $ come integrale improprio, in quanto non rientra nella definizione di integrale di Riemann (ipotesi di funzione limitata, definita su un intervallo chiuso e limitato).
Ciao a tutti,
Occhio che si tratta di due integrali ben diversi...
Si ha:
\begin{equation}
\boxed{\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin^2(x)}{x^2} \text{d}x = \text{Si}(\pi) - \dfrac{2}{\pi}}
\end{equation}
ove $ \text{Si}(x) $ è la funzione seno integrale $ \text{Si}(x) := \int_0^x \frac{sin(t)}{t} \text{d}t $
Mentre per l'altro si ha:
\begin{equation}
\boxed{\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin^2(x)}{x^2} \text{d}x = \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(x)}{x} \text{d}x = \text{Si}(+\infty) := \lim_{x \to +\infty} \text{Si}(x) = \dfrac{\pi}{2}}
\end{equation}
Occhio che si tratta di due integrali ben diversi...
Si ha:
\begin{equation}
\boxed{\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin^2(x)}{x^2} \text{d}x = \text{Si}(\pi) - \dfrac{2}{\pi}}
\end{equation}
ove $ \text{Si}(x) $ è la funzione seno integrale $ \text{Si}(x) := \int_0^x \frac{sin(t)}{t} \text{d}t $
Mentre per l'altro si ha:
\begin{equation}
\boxed{\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin^2(x)}{x^2} \text{d}x = \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(x)}{x} \text{d}x = \text{Si}(+\infty) := \lim_{x \to +\infty} \text{Si}(x) = \dfrac{\pi}{2}}
\end{equation}
E' un errore di battitura, ho sbagliato a scrivere l'estremo di integrazione, è $pi/2$, non $+oo$, ora correggo nel messaggio precedente. Grazie per avermelo fatto notare.
Ha ragione gabriella127, mi sono espresso male e chiedo scusa; l'integrale è improprio, ma converge perché si può estendere la funzione con continuità in $x=0$ ponendola uguale al valore del suo limite per $x \to 0$.
Quindi sì, l'integrale è improprio, ma $x=0$ non dà problemi perché appunto la funzione in quel punto si può estendere con continuità.
Quindi sì, l'integrale è improprio, ma $x=0$ non dà problemi perché appunto la funzione in quel punto si può estendere con continuità.
Grazie a tutti!!
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