Integrale improprio al variare di \alpha

[smaug1]

Scusatemi se posto tutti questi esercizi insieme ma è l'unico modo che ho per esercitarmi, come vedete sono le 3 di mattina e sono appena rientrato dal lavoro, faccio il cameriere in un pub...e domani ho pure lezione!! Grazie mille



1)

$\int_0^(oo) \frac{x^(\alpha)}{1 + x^4} $

per $x->oo$ $f(x) \sim \frac{1}{x^(4-\alpha)}$ quindi converse se e solo se $\alpha < 3$ ?

2)

$\int_1^(\infty) \frac{e^(x \alpha) + x} {x^(2\alpha +3)}$ come si può trattare l'esponenziale? taylor credo proprio di no, si può

dire che $f(x) \sim \frac{e^(x \alpha)}{x^(2\alpha + 3)}$ per $x->oo$ ? ma ora?

3) Quelli che mi lasciano qualche dubbio sono gli integrali di questi tipo:

$\int_1^(oo) \frac{x-1}{x^2(\log x)^(\alpha)}$ in $1$ e $oo$ cosa succede?

[ciampax]

1) Sì, corretto;

2) Osserva che l'esponente dipende da $\alpha$: per $\alpha>0$ si ha che $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{\alpha x}}{x^\beta}=+\infty$ per qualsiasi scelta di $\beta$ (si vede subito ragionando con de l'Hopital), e pertanto tali casi vanno esclusi. Per $\alpha=0$ la funzione è equivalente a $x/x^3=1/x^2$ che è integrabile. Infine per $\alpha<0$, la funzione risulta equivalente a $x/x^{2\alpha+3}=1/x^{2\alpha+2}$ (l'esponenziale è infinitesimo) e quindi converge per $2\alpha+2>1$ da cui $\alpha> -1/2$: ricordando che è anche $\alpha\le 0$ si ha convergenza per $-1/2 <\alpha \le 0$

3) Per $x=1$ puoi ragionare sostituendo $x=1+t$ con $t\to 0^+$: ne viene fuori

$\frac{x-1}{x^2 (\log x)^\alpha}=\frac{t}{(1+t)^2(\log(1+t))^\alpha}\sim \frac{t}{t^\alpha}=1/t^{\alpha-1}$

e pertanto c'è convergenza per $\alpha-1<1$ e quindi per $\alpha<2$

Per $x\to+\infty$, osserva prima di tutto che

$\frac{x-1}{x^2 (\log x)^\alpha}\sim\frac{1}{x (\log x)^\alpha}$

Se ora poni $\log x=t$ allora $x=e^t$ e si ha la funzione $1/{t^\alpha e^t}$ per la quale vale un ragionamento analogo al precedente.