Integrale improprio
Qualcuno può darmi un suggerimento su come risolvere questo integrale:
$\int_0^{+\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^2}dx$ dove $a$ è un numero reale fissato.
Grazie
$\int_0^{+\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^2}dx$ dove $a$ è un numero reale fissato.
Grazie
Risposte
Non mi sembra si possa trovare in modo semplice quanto vale quell'integrale.
Non è che si vuole sapere solo se l'integrale converge oppure no?
Non è che si vuole sapere solo se l'integrale converge oppure no?
Grazie della risposta.
No, devo proprio calcolarlo, però l'integrale originario era questo:
$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ixa}}{\pi (1+x^2)}dx$
Quindi in teoria è un integrale complesso e il risultato finale dovrebbe essere $e^{-|a|}$.
Io ho scritto $e^{ixa}$ in seno e coseno, la parte con il seno l'ho eliminata perchè era una funzione dispari integrata in un intervallo simmetrico e mi sono ricondotta all'integrale che ho scritto sopra, sperando ci fosse un modo semplice per calcolarlo, però forse si può fare in un altro modo?
No, devo proprio calcolarlo, però l'integrale originario era questo:
$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ixa}}{\pi (1+x^2)}dx$
Quindi in teoria è un integrale complesso e il risultato finale dovrebbe essere $e^{-|a|}$.
Io ho scritto $e^{ixa}$ in seno e coseno, la parte con il seno l'ho eliminata perchè era una funzione dispari integrata in un intervallo simmetrico e mi sono ricondotta all'integrale che ho scritto sopra, sperando ci fosse un modo semplice per calcolarlo, però forse si può fare in un altro modo?
Per calcolarlo ti devi aiutare con l'analisi complessa, in questo modo (così mi hanno insegnato, può darsi ci siano altre tecniche):
$int_(-oo)^(+oo) e^(ixa)/[pi(1+x^2)] = lim_(R->+oo) int_(gamma_R) e^(iza)/[pi(1+z^2)] dz$ dove il secondo è un integrale complesso e $gamma_R = {z in CC : z = Re^(itheta), theta in [0,pi]} uu {z in CC : z = t, t in [-R,R]}$.
Per $R->+oo$ il contributo all'integrale complesso dato dal tratto di semicirconferenza sopra l'asse reale tende a $0$ (si può dimostrare facilmente), quindi quella che ho scritto è proprio un uguaglianza, perchè ti è rimasto come cammino di integrazione solo l'asse reale (da $-oo$ a $+oo$ proprio perchè $R->+oo$). L'integrale complesso si può calcolare trovando i residui dell'integranda.
Tutto quello che ho detto fin qua vale se $a>0$, in caso contrario dovrai cambiare cammino di integrazione se vuoi che sia ancora vero che il contributo dato dalla semicirconferenza tende a $0$.
$int_(-oo)^(+oo) e^(ixa)/[pi(1+x^2)] = lim_(R->+oo) int_(gamma_R) e^(iza)/[pi(1+z^2)] dz$ dove il secondo è un integrale complesso e $gamma_R = {z in CC : z = Re^(itheta), theta in [0,pi]} uu {z in CC : z = t, t in [-R,R]}$.
Per $R->+oo$ il contributo all'integrale complesso dato dal tratto di semicirconferenza sopra l'asse reale tende a $0$ (si può dimostrare facilmente), quindi quella che ho scritto è proprio un uguaglianza, perchè ti è rimasto come cammino di integrazione solo l'asse reale (da $-oo$ a $+oo$ proprio perchè $R->+oo$). L'integrale complesso si può calcolare trovando i residui dell'integranda.
Tutto quello che ho detto fin qua vale se $a>0$, in caso contrario dovrai cambiare cammino di integrazione se vuoi che sia ancora vero che il contributo dato dalla semicirconferenza tende a $0$.
Non c'è un modo più immediato?
Dubito fortemente.
Senza la teoria dei residui potresti fare cosi:
\( \displaystyle f(a)=\int_0^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^2}dx\)
\(\displaystyle f(0)=\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}\)
\( \displaystyle \left | f(a)\right | \leq \int_0^{\infty} \frac{|\cos(ax)|}{1+x^2}dx\leq \int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}\)
quindi \( \displaystyle f(a)\) è una funzione limitata
\( \displaystyle f(a,M)=\int_0^M \frac{\cos(ax)}{1+x^2}dx\)
Derivando rispetto al parametro \( a\) otteniamo:
\( f^{''}(a,M)=-\int_0^M \frac{x^2 \cos(ax)}{1+x^2}dx\)
\( \displaystyle f^{''}(a,M)-f(a,M)=\int_0^M \cos(ax)dx=\frac{\sin(aM)}{a}\)
\( \displaystyle f^{''}(a,M)-f(a,M)=-\frac{\sin(aM)}{a}\)
Trovi l'integrale generale dell'equazione differenziale:
\( f(a,M)=c_1 e^a+c_2e^{-a}+\frac{\sin(aM)}{a(1+M^2)}\)
Passando al limite per \( M \rightarrow +\infty\) si ottiene:
\( f(a)=c_1e^a+c_2e^{-a}\)
Siccome \(f(a) \) è limitata deve essere:
1) per \( a \geq 0\): \( c1=0\) e \( f(a)=c_2 e^{-a}\) e imponendo la condizione \( f(0)=\frac{\pi}{2}\) : \( f(a)=\frac{\pi}{2}e^{-a}\)
2) per \( a \leq 0\): con analogo ragionamento \( f(a)=\frac{\pi}{2}e^a\)
quindi in generale \( f(a)=\frac{\pi}{2}e^{-|a|}\)
\( \displaystyle f(a)=\int_0^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^2}dx\)
\(\displaystyle f(0)=\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}\)
\( \displaystyle \left | f(a)\right | \leq \int_0^{\infty} \frac{|\cos(ax)|}{1+x^2}dx\leq \int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}\)
quindi \( \displaystyle f(a)\) è una funzione limitata
\( \displaystyle f(a,M)=\int_0^M \frac{\cos(ax)}{1+x^2}dx\)
Derivando rispetto al parametro \( a\) otteniamo:
\( f^{''}(a,M)=-\int_0^M \frac{x^2 \cos(ax)}{1+x^2}dx\)
\( \displaystyle f^{''}(a,M)-f(a,M)=\int_0^M \cos(ax)dx=\frac{\sin(aM)}{a}\)
\( \displaystyle f^{''}(a,M)-f(a,M)=-\frac{\sin(aM)}{a}\)
Trovi l'integrale generale dell'equazione differenziale:
\( f(a,M)=c_1 e^a+c_2e^{-a}+\frac{\sin(aM)}{a(1+M^2)}\)
Passando al limite per \( M \rightarrow +\infty\) si ottiene:
\( f(a)=c_1e^a+c_2e^{-a}\)
Siccome \(f(a) \) è limitata deve essere:
1) per \( a \geq 0\): \( c1=0\) e \( f(a)=c_2 e^{-a}\) e imponendo la condizione \( f(0)=\frac{\pi}{2}\) : \( f(a)=\frac{\pi}{2}e^{-a}\)
2) per \( a \leq 0\): con analogo ragionamento \( f(a)=\frac{\pi}{2}e^a\)
quindi in generale \( f(a)=\frac{\pi}{2}e^{-|a|}\)
Davvero carino! Manca solo un meno alla sesta riga di formule, scusatemi, sono troppo pignolo! 
"Giuly19":
Davvero carino! Manca solo un meno alla sesta riga di formule, scusatemi, sono troppo pignolo!
Beh,dai,si può perdonare,davanti ad una chicca del genere(ed altre..):
tira davvero un vento fresco e potenzialmente capace d'infiltrarsi in Regioni euclidee molto nascosta,dentro quella testa!
Saluti dal web.
P.S.Ed io che me l'ero persa..
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