Integrale improprio

[marck1806]

salve ha tutti!
ho un problema...
mi si chiede di risolvere il seguente integrale improprio
$\int_{1}^{infty} arctan(1/(x²+x))sqrt(x) dx$

e non ho idea su come procedere.

credo di poter affermare che in [1;+00) f(x)>0

e che arctan(x) < $\pi$/2

ho dato un'occhiata qui
viewtopic.php?t=36889&p=278263

ma niente...

[Seneca1]

Conosci qualche criterio per stabilire la convergenza di un integrale improprio?

[marck1806]

si... dovrei usare il criterio del confronto, ossia dovrei "maggiorare" f(x) con una g(x) convergente (viceversa, "minorare" con una g(x) divergente) per poter stabilire la covnvergenza (divergenza) dell'integrale, giusto?

[Seneca1]

"marck1806":salve ha tutti!
ho un problema...
mi si chiede di risolvere il seguente integrale improprio
$\int_{1}^{infty} arctan(1/(x²+x))sqrt(x) dx$

e non ho idea su come procedere.

credo di poter affermare che in [1;+00) f(x)>0

e che arctan(x) < $\pi$/2

ho dato un'occhiata qui
viewtopic.php?t=36889&p=278263

ma niente...

Per $x \to + oo$ hai che $arctan(1/(x^2+x))sqrt(x)$ è equivalente a $sqrt(x)/(x^2 + x) = 1/(sqrt(x)(x + 1))$ cioè, in particolare, esistono costanti $lambda_1 , lambda_2 in RR^+$ tali che in un opportuno intorno di infinito si abbia $0 < lambda_1 <= (arctan(1/(x^2+x))sqrt(x))/( 1/(sqrt(x)(x + 1)) ) <= lambda_2$.

Da $(arctan(1/(x^2+x))sqrt(x))/( 1/(sqrt(x)(x + 1)) ) <= lambda_2$ si deduce che da un certo $bar x$ in poi vale:

$(arctan(1/(x^2+x))sqrt(x)) < lambda_2 1/(sqrt(x)(x + 1))$

che è la maggiorazione che ti serve per concludere che l'integrale in senso generalizzato in questione è convergente.

[ciampax]

@Seneca: io più semplicemente direi che per $x\to+\infty$ la funzione da integrare è equivalente a $1/x^{3/2}$ che è integrabile.

[marck1806]

ragazzi, ho un altro int improprio da sottoporvi

$\int_0^1 (sin(sqrt(x))/(x))$

ho ragionato cosi...

per x$in$(0,1] ho $sqrt(x)$<1 e quindi $sin(sqrt(x))$<1... quindi posso dire che f(x)<$1/x$

e che l'integrale in questione converge

(ho saltato qualche passaggio?)

[Sk_Anonymous]

Peccato che $\int_0^1 1/xdx$ non sia convergente. In ogni modo, il tuo integrale è convergente. Dovresti dimostrarlo diversamente. Magari facendo il $lim_(xto0^+)((sensqrt(x))/x)/(1/sqrtx)$.

[Seneca1]

"ciampax":@Seneca: io più semplicemente direi che per $x\to+\infty$ la funzione da integrare è equivalente a $1/x^{3/2}$ che è integrabile.

L'utente mi parlava di maggiorazioni...

[marck1806]

"speculor":Peccato che $\int_0^1 1/xdx$ non sia convergente. .

si lo so
chiedevo aiuto per questo. sapevo che c'era qualcosa di sbagliato nei miei passaggi...

[Sk_Anonymous]

$[lim_(xto0^+)((sensqrt(x))/x)/(1/sqrtx)=1] rarr [(\int_0^1 (sensqrt(x))/xdx<+oo) harr (\int_0^1 1/sqrt(x)dx<+oo)]$

Inoltre, $\int_0^1 1/sqrt(x)dx$ è convergente.