Integrale improprio.
salve a tutti ho qualche problema con questo integrale:
$int_{0}^{pi}dx/(cos(a)-cos(x))$, che risulta improprio perchè $a$ è compreso nell'intervallo di integrazione.
passando al limite in modo da aggirare la singolarità viene:
$\lim_{t \to \0}{int_{0}^{a-t}dx/(cos(a)-cos(x))+int_{t+a}^{pi}dx/(cos(a)-cos(x))}$
la primitiva vale: $1/sina*ln(sin((a+x)/2)/(sin((a-x)/2)))$
per il limite del primo integrale non ci sono problemi, ma nel secondo calcolando la primitiva all'estremo superiore viene:
$1/sina*ln(sin((a+pi)/2)/(sin((a-pi)/2)))$ e l'argomento del logaritmo diventa $-1$ e il risultato quindi non torna, perchè deve venire zero.
qualcuno sa dirmi dove sbaglio? grazie.
$int_{0}^{pi}dx/(cos(a)-cos(x))$, che risulta improprio perchè $a$ è compreso nell'intervallo di integrazione.
passando al limite in modo da aggirare la singolarità viene:
$\lim_{t \to \0}{int_{0}^{a-t}dx/(cos(a)-cos(x))+int_{t+a}^{pi}dx/(cos(a)-cos(x))}$
la primitiva vale: $1/sina*ln(sin((a+x)/2)/(sin((a-x)/2)))$
per il limite del primo integrale non ci sono problemi, ma nel secondo calcolando la primitiva all'estremo superiore viene:
$1/sina*ln(sin((a+pi)/2)/(sin((a-pi)/2)))$ e l'argomento del logaritmo diventa $-1$ e il risultato quindi non torna, perchè deve venire zero.
qualcuno sa dirmi dove sbaglio? grazie.
Risposte
Non ti affannare a calcolarlo: quell'integrale non converge! La funzione integranda è asintotica a $\frac{1}{(x-\alpha)\sin\alpha}$ nell'intorno di $\alpha$, e tale funzione non è integrabile.
Sento odore di formule di prostaferesi 
scusate, ho sbagliato un segno ... l'integrale di partenza è questo $int_{0}^{pi}dx/(cos(x)-cos(a))$
comunque la primitiva è giusta, ha solo i segni di $x$ invertiti tra numeratore e denominatore.
ma anche se applico le formule di prostaferesi il l'argomento del logaritmo resta sempre $-1$.
L'integrale deve venire perchè è un integrale fondamentale in aerodinamica, è un caso particolare dell'integrale:
$int_{0}^{pi}cos(nx)/(cos(x)-cos(a))dx=pisin(na)/sin(a)$, noto come integrale di Glauert, con $n=0$ in questo caso.
... l'integrale di partenza è questo $int_{0}^{pi}dx/(cos(x)-cos(a))$comunque la primitiva è giusta, ha solo i segni di $x$ invertiti tra numeratore e denominatore.
ma anche se applico le formule di prostaferesi il l'argomento del logaritmo resta sempre $-1$.
L'integrale deve venire perchè è un integrale fondamentale in aerodinamica, è un caso particolare dell'integrale:
$int_{0}^{pi}cos(nx)/(cos(x)-cos(a))dx=pisin(na)/sin(a)$, noto come integrale di Glauert, con $n=0$ in questo caso.
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