Integrale Improprio

[avmarshall]

salve a tutti!
ho un problema con questo esercizio sugli integrali;
dire se esiste finito il seguente integrale per $ a > 0 $ :
$ int_(2)^(+oo ) ((x+2)(1+e^{-ax}))/((x+2)(x^2+1)(x-1)^2)dx $
la consegna che vuol dire?vuol dire se è sommabile o meno?e se è questo come faccio a verificarlo?

[Seneca1]

A me sembra chiara... Chiede di verificare l'integrabilità in senso generalizzato della funzione integranda in un intorno di $+oo$.

[avmarshall]

ok, è quello che penso pure io...ma come faccio a verificare se sia finito il limite oppure no?devo necessariamente calcolare l'integrale?so che esiste il teorema del confronto, ma in questo caso non so come applicarlo.
grazie per l'aiuto

[Richard_Dedekind]

Intanto c'è una semplificazione così triviale da sembrarmi un errore di trascrizione (mi riferisco a quell'\(x+2\)). Come seconda cosa, considera che \(1+e^{-ax}< 1+x\,\,\forall x\geq 1,\forall a>0\).

[avmarshall]

Intanto c'è una semplificazione così triviale da sembrarmi un errore di trascrizione (mi riferisco a quell'x+2)

no non ho scritto male è proprio così l'esercizio

Come seconda cosa, considera che 1+e−ax<1+x∀x≥1,∀a>0.

ok ti seguo...ma una volta fatta la maggiorazione che devo fare?devo calcolarmi il nuovo integrale?
grazie

[mistake89]

Se esiste $lim_(x \to infty) x^alpha f(x)$ e risulta minore di $+infty$, con $alpha >1$ allora la funzione $f(x)$ è integrabile in senso generalizzato.

Credo possa tornarti utile

[avmarshall]

come può tornarmi utile?mi sono perso...non ti seguo...grazie