Integrale improprio
Non riesco a raccapezzarmi con questo esercizio. Mi starà sfuggendo un dettaglio ma non riesco.
$int_2 ^3 (x sin^alpha (x-2))/(sqrt(x^2-4))$, con $alpha in RR$. Devo stabilire quando è integrabile e calcolarne il valore per $alpha=0$.
Quest'ultimo punto è semplice, ma non riesco a stabilire il carattere.
Volevo applicare il teorema del confronto e maggiorare tutto con l'integrale $x/(sqrt(x^2-4))$, che risulta integrabile per ogni $alpha$.
La risposta è sbagliata, ma non capisco perché.
Si ha $lim_(x to 2^+) f(x)= lim_(x to 2^+) 1/(x-2)^(1/2-alpha)$. Anche qui però non riesco a concludere che esso converge per $alpha> -1/2$.
Grazie a tutti
EDIT: Era davvero semplice. Operando il confronto asintotico con $g(x)=1/(x-2)^(1/2- alpha)$ si vede che l'integrale converge se e solo se converge l'integrale di $g(x)$, che è facilmente calcolabile.
Resta però la domanda sul perché il teorema del confronto abbia "fallito"
$int_2 ^3 (x sin^alpha (x-2))/(sqrt(x^2-4))$, con $alpha in RR$. Devo stabilire quando è integrabile e calcolarne il valore per $alpha=0$.
Quest'ultimo punto è semplice, ma non riesco a stabilire il carattere.
Volevo applicare il teorema del confronto e maggiorare tutto con l'integrale $x/(sqrt(x^2-4))$, che risulta integrabile per ogni $alpha$.
La risposta è sbagliata, ma non capisco perché.
Si ha $lim_(x to 2^+) f(x)= lim_(x to 2^+) 1/(x-2)^(1/2-alpha)$. Anche qui però non riesco a concludere che esso converge per $alpha> -1/2$.
Grazie a tutti
EDIT: Era davvero semplice. Operando il confronto asintotico con $g(x)=1/(x-2)^(1/2- alpha)$ si vede che l'integrale converge se e solo se converge l'integrale di $g(x)$, che è facilmente calcolabile.
Resta però la domanda sul perché il teorema del confronto abbia "fallito"
Risposte
Se \(\alpha<0\) allora non hai più assicurata la disuguaglianza \(\sin^\alpha(x-2)\le 1\), in particolare avresti questa situazione:
\(\sin^\alpha (x-2)= \frac{1}{\sin^{-\alpha} (x-2)}\). Quando \(x\to 2^+\) hai che \(\frac{1}{\sin^{-\alpha} (x-2)}\to +\infty\) di conseguenza non riesci a limitare \(\sin^\alpha (x-2)\) per gli \(\alpha<0 \)
\(\sin^\alpha (x-2)= \frac{1}{\sin^{-\alpha} (x-2)}\). Quando \(x\to 2^+\) hai che \(\frac{1}{\sin^{-\alpha} (x-2)}\to +\infty\) di conseguenza non riesci a limitare \(\sin^\alpha (x-2)\) per gli \(\alpha<0 \)
MIseria schifa, hai ragione! 
Grazie mille
Grazie mille
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