Integrale Improprio
Ciao Ragazzi vi propongo questo integrale improprio, vorrei riuscire a capire bene i metodi di risoluzione:
Studiare la convergenza dell'integrale improprio:
$ int_(0)^(+oo )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx $
se guardiamo bene la fuzione è sempre positiva e continua nell'intervallo di definizione e l'unico punto che ci da fastidio è l'estremo $+oo$
quindi per $x->+oo$
$(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) ~~ 1/(x^(3/2)*(ln(x^2))^-1$
però qui non conosco nessun integrale improprio fondamentale che possa aiutarmi... ho sbagliato approccio?
grazie
Riccardo
Studiare la convergenza dell'integrale improprio:
$ int_(0)^(+oo )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx $
se guardiamo bene la fuzione è sempre positiva e continua nell'intervallo di definizione e l'unico punto che ci da fastidio è l'estremo $+oo$
quindi per $x->+oo$
$(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) ~~ 1/(x^(3/2)*(ln(x^2))^-1$
però qui non conosco nessun integrale improprio fondamentale che possa aiutarmi... ho sbagliato approccio?
grazie
Riccardo
Risposte
$ int_(0)^(+oo )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx $
$(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) sim 2 ( ln(x))/(x^(3/2))$
Prova a confrontare la funzione integranda con $1/x^(5/4)$...
$(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) sim 2 ( ln(x))/(x^(3/2))$
Prova a confrontare la funzione integranda con $1/x^(5/4)$...
Ed il comportamento in [tex]$0$[/tex]?
"gugo82":
Ed il comportamento in [tex]$0$[/tex]?
già in $0$ ho una forma indeterminata [tex]$0/0$[/tex]
quindi devo controllare anche questo estremo?
Scusami Seneca non ho capito bene il passaggio elementare per cui ti viene $ 2 ( ln(x))/(x^(3/2))$ me lo potresti spiegare?
Grazie siete gentilissimi
"michealorion":
[quote="gugo82"]Ed il comportamento in [tex]$0$[/tex]?
già in $0$ ho una forma indeterminata [tex]$0/0$[/tex]
quindi devo controllare anche questo estremo?
Scusami Seneca non ho capito bene il passaggio elementare per cui ti viene $ 2 ( ln(x))/(x^(3/2))$ me lo potresti spiegare?
Grazie siete gentilissimi[/quote]
In un intorno di $+oo$ la funzione integranda si comporta come la funzione che ho scritto. E' quello che hai fatto anche tu, ma io ho usato la proprietà dei logaritmi per portare fuori l'esponente come fattore moltiplicativo.
Per quanto riguarda $0$, quanto fa $lim_(x -> 0^+ ) f(x)$ , dove $f(x)$ è la funzione integranda?
"Seneca":
In un intorno di $+oo$ la funzione integranda si comporta come la funzione che ho scritto. E' quello che hai fatto anche tu, ma io ho usato la proprietà dei logaritmi per portare fuori l'esponente come fattore moltiplicativo.
Per quanto riguarda $0$, quanto fa $lim_(x -> 0^+ ) f(x)$ , dove $f(x)$ è la funzione integranda?
$lim_(x -> 0^+ ) f(x) $ fa $0$
quindi posso evitare di considerarlo un estremo "pericoloso" per la convergenza?
Esatto.
ok ora non vorrei dire una castroneria, ma per valutare la convergenza posso cambiare l'estremo dell'integrale di partenza?
per esempio a 1: $ int_(1)^(+oo )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx $
visto che fra 0 e 1 non ci sono punti della funzione che mi rendono l'area illimitata, però non so se è un operazione lecita.
nel caso fosse lecita abbiamo visto che per $x->+oo$ la funzione di partenza è asintoticamente equivalente a $(2*ln(x))/x^(3/2)$, però in questo caso conosco come si comporta $int_(1)^(+oo )1/(x^(3/2)) dx$ e col teorema del confronto lo risolvo.
per esempio a 1: $ int_(1)^(+oo )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx $
visto che fra 0 e 1 non ci sono punti della funzione che mi rendono l'area illimitata, però non so se è un operazione lecita.
nel caso fosse lecita abbiamo visto che per $x->+oo$ la funzione di partenza è asintoticamente equivalente a $(2*ln(x))/x^(3/2)$, però in questo caso conosco come si comporta $int_(1)^(+oo )1/(x^(3/2)) dx$ e col teorema del confronto lo risolvo.
Alla prima domanda la risposta è sì. Devi spezzare l'integrale se la $f$ è discontinua in entrambi gli estremi di integrazione.
cosi tipo?
$ int_(0)^(+oo )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx = int_(0)^(1 )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx + int_(1)^(+oo )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx$
e per la convergenza devono convergere entrambi vero??
secondo voi ho fatto una scelta giusta nel spezzare con questi estremi l'integrale?
$ int_(0)^(+oo )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx = int_(0)^(1 )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx + int_(1)^(+oo )(ln(1+x^2))/(xsqrt(x)) dx$
e per la convergenza devono convergere entrambi vero??
secondo voi ho fatto una scelta giusta nel spezzare con questi estremi l'integrale?
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