Integrale improprio

[francalanci]

Non mi riesce risolvere questo esercizio che mi richiede la convergenza o la divergenza del integrale improprio $int _{2}^{3} (3(x-1)log(x-1))/(tan(x-2)^(4/5)) dx$ io stavo pensando di risolverlo con il criterio del rapporto ma non so con quale funzione confrontarla.

[Raptorista1]

Hai provato a vedere se la funzione integranda è asintotica ad una qualche funzione che poi studiare più facilmente?

[gugo82]

L'unico punto che crea problemi è [tex]$2$[/tex].

Ragionando asintoticamente trovi:

[tex]$3(x-1)\approx -3$[/tex], [tex]$\log (x-1) =\log (1+(x-2))\approx x-2$[/tex] e [tex]$\tan (x-2)^{\frac{4}{5}} \approx (x-2)^{\frac{4}{5}}$[/tex]

(per i limiti notevoli o gli sviluppi di Taylor notevoli, che dir si voglia), quindi:

[tex]$\frac{3(x-1)\ \log (x-1)}{\tan (x-2)^{\frac{4}{5}}} \approx \frac{x-2}{(x-2)^{\frac{4}{5}}} = (x-2)^{\frac{1}{5}}$[/tex];

ne viene che il tuo integrando si prolunga con continuità su [tex]$2$[/tex] (il limite esiste finito ed è nullo), perciò il tuo integrale esiste finito.