Integrale improprio
Salve a tutti, devo determinare se converge o meno l'integrale
$ int_(2)^(+infty) frac{sin^3(x)}{x^2*log(1+x)} $
Per $x->+infty$ risulta $1/(x^2*log(1+x))\sim1/(x^2*log(x))$, mentre la funzione seno continua ad oscillare tra $-1$ e $1$, pertanto la funzione è infinitesima. Quello che mi viene in mente adesso è confrontare la funzione di partenza con $1/x^2$, utilizzando il criterio asintotico, ma non riesco a trarne una conclusione. Considerato poi che la funzione seno continua a oscillare tra $-1$ e $1$ per $n->+infty$, mi viene anche in mente il criterio di Liebnitz, ma la funzione non mi pare essere maggiore o uguale a $0$ definitivamente, pertanto anche questo mio pensiero mi lascia alquanto perplesso.
$ int_(2)^(+infty) frac{sin^3(x)}{x^2*log(1+x)} $
Per $x->+infty$ risulta $1/(x^2*log(1+x))\sim1/(x^2*log(x))$, mentre la funzione seno continua ad oscillare tra $-1$ e $1$, pertanto la funzione è infinitesima. Quello che mi viene in mente adesso è confrontare la funzione di partenza con $1/x^2$, utilizzando il criterio asintotico, ma non riesco a trarne una conclusione. Considerato poi che la funzione seno continua a oscillare tra $-1$ e $1$ per $n->+infty$, mi viene anche in mente il criterio di Liebnitz, ma la funzione non mi pare essere maggiore o uguale a $0$ definitivamente, pertanto anche questo mio pensiero mi lascia alquanto perplesso.
Risposte
Puoi provare a mostrare che l'integrale converge assolutamente. Per cominciare
[tex]\Bigl|\frac{\sin^3(x)}{x^2 log(1+x)}\Bigr|\leq\frac{1}{x^2 log(1+x)}[/tex]
Ora puoi osservare che [tex]log(1+x)\geq log(3)[/tex] dove stai integrando, quindi
[tex]\frac{1}{x^2 log(1+x)}\leq\frac{1}{x^2 log(3)}[/tex] e quest'ultimo converge. Quindi hai che l'integrale iniziale converge assolutamente per confronto.
[tex]\Bigl|\frac{\sin^3(x)}{x^2 log(1+x)}\Bigr|\leq\frac{1}{x^2 log(1+x)}[/tex]
Ora puoi osservare che [tex]log(1+x)\geq log(3)[/tex] dove stai integrando, quindi
[tex]\frac{1}{x^2 log(1+x)}\leq\frac{1}{x^2 log(3)}[/tex] e quest'ultimo converge. Quindi hai che l'integrale iniziale converge assolutamente per confronto.
Ti ringrazio, era più semplice di quanto pensassi. Qualche altro consiglio per svolgere così rapidamente gli integrali 
? Ho sempre qualche difficoltà a scegliere il metodo da applicare per la risoluzione purtroppo 
.
? Ho sempre qualche difficoltà a scegliere il metodo da applicare per la risoluzione purtroppo .
Il mio consiglio è farne tanti, in questo modo fai un po' l'occhio..non c'è un metodo standard che ti permette di risolvere ogni situazione... 
Lo farò 
!
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