Integrale improprio

[matteo333]

Non riesco a risolvere questo integrale, e non riesco a capire come si stabilisce se è divergente o convergente...c'è qualcuno che gentilmente me lo può spiegare? grazie mille....

$ int_(1)^(+oo) (1-cos(1/x))dx$

[fireball1]

A risolverlo non ce la farai mai, puoi però verificare la convergenza a $+oo$.
In un intorno destro di 1 non abbiamo problemi per l'integrabilità: l'unica cosa che dobbiamo fare è vedere come si comporta l'integranda per $x->+oo$.
Ricorda che per $y->0$ si ha che $1 - cosy=y^2/2 + o(y^2)$. In questo caso hai $1-cos(1/x)$ e $x->+oo$, quindi...?

[matteo333]

Quindi te dici che basta risolvere il limite dell'integrale per x che tende a + infinito?...l'ho fatto e mi torna 0...quindi l'integrale a + infinito converge.
Se il limite tornava + infinito divergeva vero?

Grazie mille mi sei stato davvero di grande aiuto

[fireball1]

Non dell'INTEGRALE, ma dell'INTEGRANDA. Comunque no, non è il fatto che l'integranda vada a 0 a dirti che l'integrale converge, ma è il MODO in cui ci va.
Non a caso ti ho dato il suggerimento dello sviluppo di $cosy$ per $y->0$...

[matteo333]

Stai parlando della velocità con cui va a 0?...Ok grazie ancora

[fireball1]

Sì, dell'ordine di infinitesimo. Dev'essere > 1. In questo caso è 2, quindi converge.