Integrale improprio
Ho un piccolo dubbio. Avevo questo integrale:
$\int_{2}^{infty} 1/(xsqrt(x-1)(sqrt(x-1)+2)) dx$
Ho posto $t=sqrt(x-1)$
E sono arrivato a $2\int_{1}^{infty} 1/((t^2+1)(t+2)) dt$
E' corretto "spezzare" in: $2\int_{1}^{infty} 1/(t^2+1) dt * 2\int_{1}^{infty} 1/(t+2) dt$
Ed arrivare così a: $2arctan(t)*2log(t+2)$ valutato tra $1$ e $infty$ ?
E il risultato è $infty$?
$\int_{2}^{infty} 1/(xsqrt(x-1)(sqrt(x-1)+2)) dx$
Ho posto $t=sqrt(x-1)$
E sono arrivato a $2\int_{1}^{infty} 1/((t^2+1)(t+2)) dt$
E' corretto "spezzare" in: $2\int_{1}^{infty} 1/(t^2+1) dt * 2\int_{1}^{infty} 1/(t+2) dt$
Ed arrivare così a: $2arctan(t)*2log(t+2)$ valutato tra $1$ e $infty$ ?
E il risultato è $infty$?
Risposte
no non è corretto spezzarlo in quel modo...
ti ricordo che puoi spezzare gli integrali solo rispetto alla somma e alla sottrazione non rispetto alla moltiplicazione o alla divisione.
ma ti chiede il risultato oppure di studiare la convergenza?
ti ricordo che puoi spezzare gli integrali solo rispetto alla somma e alla sottrazione non rispetto alla moltiplicazione o alla divisione.
ma ti chiede il risultato oppure di studiare la convergenza?
No, il "primo integrale" dell'esercizio era $\int_{2}^{infty} sqrt(x^alpha)/(sqrt(x-1)(sqrt(x-1)+2)) dx$
E si chiedeva di calcolare per quali $alpha$ converge e sono giunto al risultato $alpha<2$
A questo punto si chiedeva di calcolarne il valore per un $alpha=-2$.
E si chiedeva di calcolare per quali $alpha$ converge e sono giunto al risultato $alpha<2$
A questo punto si chiedeva di calcolarne il valore per un $alpha=-2$.
ok allora arriva to a queal punto applica il metodo della fattorizzazione oppure il metodo per parti per risolvere l'integrale anzinchè spezzarlo.
Ok, grazie! Allora provo a fattorizzarlo!
aspetta mi sono accorto che hai fatto un errore... lì non è $(t^2)+1$ ma è $(t-1)^2$
Ma se pongo $t=sqrt(x-1)$, significa che $x=t^2+1$ e la derivata è $2t$. Quindi esce:
$\int_{1}^{infty} 1/((t^2+1)(t)(t+2))*2t dt$ , no?
$\int_{1}^{infty} 1/((t^2+1)(t)(t+2))*2t dt$ , no?
se fai la sostituziona dal punto di vista della t come conviene in questo caso, metterai radice di x-1 come t quindi il dt sarà 1/radice di x-1 * dx.
sotto applichi sommi e sottrai 1 e ti esce(t-1)^2*(t+2).
scusa ora sono di fretta dopo posto un esempio + esplicito. scusa!
sotto applichi sommi e sottrai 1 e ti esce(t-1)^2*(t+2).
scusa ora sono di fretta dopo posto un esempio + esplicito. scusa!
Ok, anche perchè non ho capito il ragionamento che mi hai scritto =P
E' possibile un up? =D
Io ho provato a fattorizzare quello a cui ero giunto, dandolo per buono e ottengo:
$2(\int_{1}^{infty} (-1/5t+2/5)/(t^2+1)+(1/5)/(t+2) dt)$
Se fosse giusto (xD) il secondo pezzo è immediato, portando fuori il numeratore ed ottenendo un logaritmo. Il problema è il primo pezzo, per il quale avevo pensato di moltiplicare e dividere per 10, in modo da avere $2t+4$ al numeratore (dato che la derivata del denominatore è $2t$ ) e poi di spezzare ottenendo un integrale con $(2t)/(t^2+1)$ e l'altro con $4/(t^2+1)$
Io ho provato a fattorizzare quello a cui ero giunto, dandolo per buono e ottengo:
$2(\int_{1}^{infty} (-1/5t+2/5)/(t^2+1)+(1/5)/(t+2) dt)$
Se fosse giusto (xD) il secondo pezzo è immediato, portando fuori il numeratore ed ottenendo un logaritmo. Il problema è il primo pezzo, per il quale avevo pensato di moltiplicare e dividere per 10, in modo da avere $2t+4$ al numeratore (dato che la derivata del denominatore è $2t$ ) e poi di spezzare ottenendo un integrale con $(2t)/(t^2+1)$ e l'altro con $4/(t^2+1)$
Sinceramente non ho capito neanch' io l' intervento di Mirko. In qualunque caso la sostituzione che hai fatto è corretta, anche se non è assolutamente possibile spezzare l' integrale nel prodotto di 2 integrali. Puoi spezzare solo gli addendi dell' integrando (cioè quando hai una somma) in somme di integrali.
Poi non ho capito cosa hai fattorizzato da: $\int_{2}^{+\infty} 1/((t^2 + 1)(t + 1))dt$
Qui devi applicare la scomposizione: $A/(t^2 + 1) + B/(t + 1) = 1$
Poi non ho capito cosa hai fattorizzato da: $\int_{2}^{+\infty} 1/((t^2 + 1)(t + 1))dt$
Qui devi applicare la scomposizione: $A/(t^2 + 1) + B/(t + 1) = 1$
Ma $(t^2+1)$ non ha radici complesse??
Quindi dovrei fare $(At+b)/(t^2+1) + (C)/(t+1)$, no?
Quindi dovrei fare $(At+b)/(t^2+1) + (C)/(t+1)$, no?
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