Integrale improprio

[white051]

Ciao a tutti,
potreste darmi l'input per risolvere questo integrale improprio??? Cosi poi provo a svolgerlo.

$\int_{1}^{\infty} sqrt(2+x^4)*sin(pi/(2+x^4))dx$

da dove posso partire?? grazie

[ciampax]

Mmmmmmmmmm....

Osserva a cosa tende l'argomento del seno per x che tende ad infinito. Un metodo per ragionarci su, è fare un cambiamento di coordinate... Prova!

[white051]

no qui proprio mi perdo...

[ciampax]

Osserva che $\pi/{2+x^4}\rightarrow 0$ per $x\rightarrow +\infty$. Ne segue che, dal limite notevole $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}=1$ tu possa "sostituire" asintoticamente

$\sin(\frac{\pi}{2+x^4})\sim\frac{\pi}{2+x^4}$ e quindi l'integrando diventa

$\sqrt{2+x^4}\cdot\sin(\frac{\pi}{2+x^4})\sim\sqrt{2+x^4}\cdot\frac{\pi}{2+x^4}=\frac{\pi}{\sqrt{2+x^4}}\sim\frac{\pi}{x^2}$

che è la sua parte principale all'infinito. Essendo l'esponente maggiore di 1, segue che l'integrale converge, poiché vale il teorema

$\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\ dx<\infty$ se e solo se $\alpha>1$.

[white051]

"ciampax":Osserva che $\pi/{2+x^4}\rightarrow 0$ per $x\rightarrow +\infty$. Ne segue che, dal limite notevole $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}=1$ tu possa "sostituire" asintoticamente

$\sin(\frac{\pi}{2+x^4})\sim\frac{\pi}{2+x^4}$

grazie! il resto mi è chiaro, questo passaggio invece non ne capisco bene la logica

[ciampax]

Perché? Cosa c'è che non capisci?

[white051]

non capisco il motivo per cui si può dire che il seno di quell'argomento è all'incirca uguale al solo argomento

[ciampax]

Non è all'incirca uguale. Il simbolo $\sim$ rappresenta l'andamento asintotico: vuol dire che quando t è molto vicino a 0, la funzione $\sin t$ e $t$ si comportano allo stesso modo.

[white051]

"ciampax":Non è all'incirca uguale. Il simbolo $\sim$ rappresenta l'andamento asintotico: vuol dire che quando t è molto vicino a 0, la funzione $\sin t$ e $t$ si comportano allo stesso modo.

adesso ho capito!!! grazie mille

[ciampax]

Prego!