Integrale improprio
Ragazzi devo fare lo studio di questa funzione: $\int_{1}^{x} (1-cos(1/x))$.
Il dominio della funzione integranda é tutto $RR$ escluso lo $0$. Faccio i limiti della funzione agli estremi del dominio e vedo che in un intorno destro e in un intorno sinistro di $0$ il limite non esiste, diciamo che il grafico della funzione integranda oscilla.
Passo allo studio della funzione integrale, che è positiva per $x>1$ e negativa per $x<1$, l'integrale improprio per $xrarr+-oo$ converge e lo trovo attraverso il confronto asintotico. Mentre in un intorno di $0$ la funzione integrale è negativa e, come quella integranda, direi che ha un comportamento oscillatorio.
Il mio dubbio è che non so come fare per il fatto che la funzione non è definita in $0$, non so se i ragionamenti che ho fatto finora sono corretti..
Grazie!
Il dominio della funzione integranda é tutto $RR$ escluso lo $0$. Faccio i limiti della funzione agli estremi del dominio e vedo che in un intorno destro e in un intorno sinistro di $0$ il limite non esiste, diciamo che il grafico della funzione integranda oscilla.
Passo allo studio della funzione integrale, che è positiva per $x>1$ e negativa per $x<1$, l'integrale improprio per $xrarr+-oo$ converge e lo trovo attraverso il confronto asintotico. Mentre in un intorno di $0$ la funzione integrale è negativa e, come quella integranda, direi che ha un comportamento oscillatorio.
Il mio dubbio è che non so come fare per il fatto che la funzione non è definita in $0$, non so se i ragionamenti che ho fatto finora sono corretti..
Grazie!
Risposte
"delca85":
Ragazzi devo fare lo studio di questa funzione: $\int_{1}^{x} (1-cos(1/x))$.
Il dominio della funzione integranda é tutto $RR$ escluso lo $0$. Faccio i limiti della funzione agli estremi del dominio e vedo che in un intorno destro e in un intorno sinistro di $0$ il limite non esiste, diciamo che il grafico della funzione integranda oscilla.
Passo allo studio della funzione integrale, che è positiva per $x>1$ e negativa per $x<1$, l'integrale improprio per $xrarr+-oo$ converge e lo trovo attraverso il confronto asintotico. Mentre in un intorno di $0$ la funzione integrale è negativa e, come quella integranda, direi che ha un comportamento oscillatorio.
Il mio dubbio è che non so come fare per il fatto che la funzione non è definita in $0$, non so se i ragionamenti che ho fatto finora sono corretti..
Grazie!
Dunque tu vuoi sapere come si comporta nell'intorno di zero...cioè se esiste un valore o meno?
Io farei in questo modo:
$lim_(alpha->0)-int_alpha^1 1-cos(1/x)dx=lim_(alpha->0)-int_alpha^1 1 dx + lim_(alpha->0)int_alpha^1 cos(1/x)dx$
Il primo integrale è finito, mentre per il secondo procederei facendo un cambio di variabile, ottenendo:
$lim_(beta->+-oo) -int_beta^1 (sen x)/x^2 d beta$ Ora, questo integrale converge, però il valore ottenuto facendo tendere $beta$ a $+oo$ e $-oo$ sarà diverso per entrambi i casi. Quindi nello zero ci sarà una discontinuità.
Ora se vuoi sapere il valore preciso dovrei pensarci un pochino..
Ma la funzione integrale è definita in un intorno sia destro che sinistro di $0$? Io avrei detto che anche la funzione integrale avrebbe avuto delle oscillazioni in un intorno di $0$, anche guardando il segno della derivata seconda della funzione integrale si trova che i punti di flesso sono tutti in un intorno di $0$.
Quell'integrale converge per il criterio di confronto asintotico però è difficile dire a che numero per la periodicità del seno, giusto?
Quell'integrale converge per il criterio di confronto asintotico però è difficile dire a che numero per la periodicità del seno, giusto?
"delca85":
Ma la funzione integrale è definita in un intorno sia destro che sinistro di $0$? Io avrei detto che anche la funzione integrale avrebbe avuto delle oscillazioni in un intorno di $0$, anche guardando il segno della derivata seconda della funzione integrale si trova che i punti di flesso sono tutti in un intorno di $0$.
Quell'integrale converge per il criterio di confronto asintotico però è difficile dire a che numero per la periodicità del seno, giusto?
Magari dirò una stupidata...però secondo me la funzione $cos(1/x)$ con il tendere di x a zero è vero che oscilla però (ragionando nel modo più euristico possibile)l'area dello spazio sotteso dalla curva si annulla al limite. Forse è proprio per questo motivo che nell'intorno dell'origine l'integrale converge.
Scusate per la spiegazione non proprio matematica....Magari mi sbaglio!!!
Se fosse così, ossia se convergessero tutte le somme di termini infinitesimi, convergerebbe anche la serie armonica... E non è così, vero clrscr?
Insomma, le giustificazioni euristiche vanno bene fino ad un certo punto, oltre il quale bisogna supportarle con buona matematica.
Insomma, le giustificazioni euristiche vanno bene fino ad un certo punto, oltre il quale bisogna supportarle con buona matematica.
"Gugo82":
Se fosse così, ossia se convergessero tutte le somme di termini infinitesimi, convergerebbe anche la serie armonica... E non è così, vero clrscr?
Insomma, le giustificazioni euristiche vanno bene fino ad un certo punto, oltre il quale bisogna supportarle con buona matematica.
Ma nel caso specifico, possimo dire che l'integrale converge oppure no?
E comunuqe in molti casi il ragionamento intuitivo supportato da una buona dose di fortuna portano alla soluzione corretta!!!! 
La convergenza della funzione integrale in $0$ è incerta per via della presenza dell'integrale $\int_x^1cos(1/t)" d"t$.
Se si fa la sostituzione $t=1/u$ si trova $"d"t=-1/u^2" d"u$ e quindi:
$\int_x^1 cos(1/t)" d"t=\int_(1/x)^1 -(cos u)/u^2" d"u=\int_1^(1/x) (cos u)/u^2" d"u \quad$.
Visto che $1/x \to +oo$ quando $x\to 0^+$, l'integrale $\int_x^1cos(1/t)" d"t$ è convergente in $0$ se e solo se è convergente l'integrale improprio $\int_1^(+oo)(cos u)/u^2" d"u$; la funzione integranda $(cos u)/u^2$ è infinitesima in $+oo$ d'ordine minore di $2$ ma d'ordine superiore ad ogni $1
Ne viene che l'integrale improprio $\int_0^1 cos(1/t)" d"t$ è assolutamente convergente e la funzione integrale assegnata è convergente in $0$.
Sì, ma tirare ad indovinare è da ingegneri, non da matematici...
Se si fa la sostituzione $t=1/u$ si trova $"d"t=-1/u^2" d"u$ e quindi:
$\int_x^1 cos(1/t)" d"t=\int_(1/x)^1 -(cos u)/u^2" d"u=\int_1^(1/x) (cos u)/u^2" d"u \quad$.
Visto che $1/x \to +oo$ quando $x\to 0^+$, l'integrale $\int_x^1cos(1/t)" d"t$ è convergente in $0$ se e solo se è convergente l'integrale improprio $\int_1^(+oo)(cos u)/u^2" d"u$; la funzione integranda $(cos u)/u^2$ è infinitesima in $+oo$ d'ordine minore di $2$ ma d'ordine superiore ad ogni $1
Ne viene che l'integrale improprio $\int_0^1 cos(1/t)" d"t$ è assolutamente convergente e la funzione integrale assegnata è convergente in $0$.
"clrscr":
E comunuqe in molti casi il ragionamento intuitivo supportato da una buona dose di fortuna portano alla soluzione corretta!!!!
Sì, ma tirare ad indovinare è da ingegneri, non da matematici...
Ma perchè non posso dire che la funzione $cosu/u^2$ per $xrarroo$ è infinitesima di ordine $2$? Perchè è periodica e il limite del coseno non esiste per $xrarroo$?
E il dominio della funzione integrale qual è? $[0,+oo)$ o tutto $RR$, dato che la funzione integrale è definita in $0$?
E il dominio della funzione integrale qual è? $[0,+oo)$ o tutto $RR$, dato che la funzione integrale è definita in $0$?
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