Integrale improprio

[DuxDjo]

Salve a tutti,il mio prof dice che questo integrale converge per ogni $\AAalpha>0$ :

$\int_0^oo log(1+x^alpha)/(|x^(alpha)*log(x)|+1)dx$

Io credo di no....
Voi che ne pensate?

Ps:$\alpha<0$ nn è contemplato per ipotesi e siamo tutti d'accordo ke se $\alpha=0$ converge perchè nn dipende più da x

[raff5184]

"DuxDjo":
$\int_0^oo log(1+x^alpha)/(|x^(alpha)*log(x)|+1)dx$
se $\alpha=0$ converge perchè nn dipende più da x

resta |log(x)| al denomiatore o sbaglio?

[raff5184]

Matlab, non mathlab.. Lo odi talmente tanto che sbagli il nome. Freud docet

[DuxDjo]

sì scusa errore mio...guardavo un altro esercizio qndo ho scritto quella cosa ..hehehe
Vabbè ma cmq in $alpha=0$ converge giusto?
E poi scusami ma su un esercizio del genere in linea di massima:
se e solo se il limite per x che tende ad ogni estremo di integrazione è zero,
allora l'integrale converge?

[dissonance]

non necessariamente... la condizione necessaria perchè un integrale converga (per limiti a $pm infty$) è che sia zero il limite inferiore. E inoltre questa condizione non è sufficiente.

[DuxDjo]

Quindi l'idea giusta per risolvere un esercizio del genere qual è?
a questo punto non ci stò capendo più niente....

[gugo82]

"DuxDjo":Quindi l'idea giusta per risolvere un esercizio del genere qual è?
a questo punto non ci stò capendo più niente....

Basta guardare l'ordine d'infinitesimo dell'integrando per rendersi conto della sommabilità.
Al numeratore hai $log(1+x^alpha)=alpha*logx+log(1+1/x^alpha)=alpha*logx*[1+(log(1+1/x^alpha))/(alpha*logx)]$ che è un infinito d'ordine infinitamente piccolo in $+oo$; al denominatore hai $|x^alpha*log(x)|+1=|x^alpha*logx|*(1+1/|x^alpha*logx|)$ che è un infinito d'ordine superiore ad $alpha$ ma comunque più piccolo di ogni $beta>alpha$.
Il valore assoluto della funzione integranda si comporta intorno a $+oo$ come il rapporto tra i due infiniti al numeratore e denominatore, ossia:

$|f(x;alpha)| \sim alpha*logx/(x^alpha*logx)=alpha/x^alpha quad$;

il rapporto al secondo membro è infinitesimo d'ordine $alpha$, quindi è assolutamente integrabile intorno a $+oo$ solo se $alpha>1$.

Vedi che già c'è qualcosa che non va, perchè l'integrando non è sempre sommabile in $+oo$ e, vista la positività dell'integrando, la sommabilità equivale all'integrabilità semplice.

[DuxDjo]

"Gugo82":
$|f(x;alpha)| \sim alpha*logx/(x^alpha*logx)=alpha/x^alpha quad$;

Anche io ero arrivato a questo punto ma utilizzando l'asintotica equivalenza.

"Gugo82":
il rapporto al secondo membro è infinitesimo d'ordine $alpha$, quindi è assolutamente integrabile intorno a $+oo$ solo se $alpha>1$.

Io sono arrivato alla medesima conclusione...quindi il mio prof aveva sbagliato?

"Gugo82":
Vedi che già c'è qualcosa che non va, perchè l'integrando non è sempre sommabile in $+oo$ e, vista la positività dell'integrando, la sommabilità equivale all'integrabilità semplice.

Qualcosa che non và a che riguardo?Ti stai riferendo ai valori di $alpha<=1$

E in un intorno dello 0 invece risulta integrabile $AAalpha>0$?

[gugo82]

"DuxDjo":il mio prof aveva sbagliato?
[quote="Gugo82"]
Vedi che già c'è qualcosa che non va, perchè l'integrando non è sempre sommabile in $+oo$ e, vista la positività dell'integrando, la sommabilità equivale all'integrabilità semplice.

Qualcosa che non và a che riguardo?Ti stai riferendo ai valori di $alpha<=1$[/quote]
A meno di grosse cantonate l'integrando non è integrabile per ogni $alpha>0$ intorno a $+oo$, quindi il tuo prof ha sbagliato.
Prova a chiedergli spiegazioni.

"DuxDjo":E in un intorno dello 0 invece risulta integrabile $AAalpha>0$?

In $0$ non mi pare ci siano problemi: a occhio l'integrando ha limite finito (e nullo) per $x to 0$ qualunque sia $alpha>0$. Tu che dici?
Bisogna andare a guardare gli ordini dei vari infiniti/inifinitesimi che compaiono all'integrando quando $x to 0$.

[DuxDjo]

Quindi se non ho capito male:
in un intorno di $+oo$ converge se $alpha>1$
in un intorno di $0$ converge se $alpha>0$
Ossia l'integrale in generale converge se $alpha>1$

Giusto?