Integrale improprio

[manuxy84]

Ciao ragazzi,
mi sapreste dire se il seguente integrale improprio converge o diverge e perchè? Grazie!

$\int_{0}^{infty} frac{ln(1+x^4)+x^2}{x^(5/2) + x^4} dx$

[Sk_Anonymous]

l'integrale converge infatti, applicando il criterio del confronto asintotico:

per $x->0^+$, $f(x)=(x^4(1+o(1))+x^2)/(x^(5/2)+x^4)=(x^2(1+o(1)))/(x^(5/2))=x^(2-5/2)(1+o(1))=x^(-1/2)(1+o(1))$ che è integrabile in senso improprio in un intorno destro di zero
mentre per x->+oo
$f(x)=(4lnx+x^2)/(x^4(1+o(1)))=x^(-2)$ integabile in senso improprio in un intorno di piu infinito
quindi l'integrale converge
ovviamente essendo la funzione integranda continua in (0,+oo) puoi tranquillamente considerare due integrali con dominio di integrazione $(0,x_0)$ e $(x_0,+oo)

[manuxy84]

Scusa, ma vorrei essere sicura di avere capito il ragionamento:

per $x->0^+$ $ln(1+x^4)=x^4$ lo si deduce dal fatto che per $x->infty$ $ln(1+1/x)=1/x$ o c'è un altro motivo??
Dopo di che visto che sto valutado in zero i termini preponderanti sono quelli di grado più basso?

mentre per x->+oo $ln(1+x^4)=x^4$ il termine preponderante dell'argomento del logaritmo è $x^4$ quindi $ln(1+x^4)=ln(x^4)=4ln(x)$ ??

E' così?