Integrale improprio

[Sam881]

salve,
volevo un chiarimento sulla risoluzione di integrali impropri;
Da come ho capito se ci si trova di fronte ad un integrale improprio su intervallo limitato di una funzione continua ( ad esempio in [a,b) ) calcolando il lim per x che tende a b (in questo caso) di f(x) se questo è finito si ha che l'integrale converge, se infinito occorre utilizzare altri metodi risolutivi come criterio del confronto e criterio del confronto asintotico...giusto?
In secondo luogo i criteri di confronto (asintotico e non) si possono sfruttare su funzioni continue nell'intervallo considerato....
dovendo risolvere (indicare se converge/diverge) l' integrale di

f(x) = x*tang((x^2) +1)/((x^4) +(cos(x))^2) nell 'intervallo [2,+∞)

occorre trovare per forza una primitiva esplicita, come si può procedere in altro modo?
quali sono poi le relazioni più iportanti da ricordare per sfruttare il criterio del confronto?

grazie in anticipo,
Simone

[Camillo]

Per rendere comprensibili le formule racchiudile tra i simboli del dollaro e guarda qui
https://www.matematicamente.it/forum/mat ... t6287.html

[Sam881]

allora l'integrale che ho postato è:

$int x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))dx $ nell'intervallo [2,+∞)

[gugo82]

"Sam88":allora l'integrale che ho postato è:

$int x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))dx $ nell'intervallo [2,+∞)

Cominciamo innanzitutto col notare che risulta:

$lim_(xto +oo)x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))=lim_(xto +oo)x*(x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2)*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))/((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))=lim_(xto +oo)(x^3*(1+1/x^2))/(x^4 +(cosx)^2)*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))/((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))=0*1=0$

quindi la condizione necessaria per la convergenza dell'integrale è soddisfatta.
Proviamo a stabilire se l'infinitesimo $x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))$ è dotato di ordine e se tale ordine è $>1$: fissato $p in RR$ abbiamo:

$lim_(xto +oo)(x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2)))*x^p=lim_(xto +oo)(x^(3+p)*(1+1/x^2))/(x^4 +(cosx)^2)*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))/((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))=\{(0, " se " p<1),(1, " se " p=1),(+oo, " se " p>1):}$;

ne consegue che l'integrando è un infinitesimo in $+oo$ d'ordine $1$. Per un noto criterio di convergenza assoluta, l'integrale $\int_2^(+oo)|x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))|" d"x$ non converge; d'altra parte l'integrando è positivo in $[2,+oo[$, onde la convergenza assoluta coincide con la convergenza semplice dell'integrale improprio: quindi $\int_2^(+oo)x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))" d"x$ non può convergere.

Spero d'essere stato d'aiuto.
Buono studio.

[Sam881]

"gugo82":[quote="Sam88"]allora l'integrale che ho postato è:

$int x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))dx $ nell'intervallo [2,+∞)

Cominciamo innanzitutto col notare che risulta:

$lim_(xto +oo)x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))=lim_(xto +oo)x*(x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2)*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))/((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))=lim_(xto +oo)(x^3*(1+1/x^2))/(x^4 +(cosx)^2)*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))/((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))=0*1=0$

quindi la condizione necessaria per la convergenza dell'integrale è soddisfatta.
Proviamo a stabilire se l'infinitesimo $x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))$ è dotato di ordine e se tale ordine è $>1$: fissato $p in RR$ abbiamo:

$lim_(xto +oo)(x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2)))*x^p=lim_(xto +oo)(x^(3+p)*(1+1/x^2))/(x^4 +(cosx)^2)*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))/((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))=\{(0, " se " p<1),(1, " se " p=1),(+oo, " se " p>1):}$;

ne consegue che l'integrando è un infinitesimo in $+oo$ d'ordine $1$. Per un noto criterio di convergenza assoluta, l'integrale $\int_2^(+oo)|x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))|" d"x$ non converge; d'altra parte l'integrando è positivo in $[2,+oo[$, onde la convergenza assoluta coincide con la convergenza semplice dell'integrale improprio: quindi $\int_2^(+oo)x*tan ((x^2 +1)/(x^4 +(cosx)^2))" d"x$ non può convergere.

Spero d'essere stato d'aiuto.
Buono studio.[/quote]

Grazie moltissimo,
avevo pensato di risolverlo con il criterio del rapporto asintotico dato che tanx è asintotico ad x per x che tende a 0 ottenendo il suo stesso sviluppo; mi sono bloccato poi pensando (erroneamente), che il criterio non potesse essere applicato dato che $ tan(f(x)) $ non è continua....

Per quanto riguarda il mio primo post quello che dico è giusto? ci sono delle imprecisioni?
Grazie ancora,
Simone

[gugo82]

"Sam88":
Grazie moltissimo,
avevo pensato di risolverlo con il criterio del rapporto asintotico dato che tanx è asintotico ad x per x che tende a 0 ottenendo il suo stesso sviluppo; mi sono bloccato poi pensando (erroneamente), che il criterio non potesse essere applicato dato che $ tan(f(x)) $ non è continua....

Per quanto riguarda il mio primo post quello che dico è giusto? ci sono delle imprecisioni?
Grazie ancora,
Simone

Allora...

L'integrale improprio $\int_a^bf(x)" d"x$ con $f$ continua in $[a,b[$, con $b$ finito, e non definita in $b$ esiste finito se:

1) $f$ ha una discontinuità eliminabile in $b$ (infatti in tal caso la $f$ si prolunga ad una funzione continua e quindi integrabile su tutto $[a,b]$);

oppure se:

2) pur non avendo $f$ una discontinuità eliminabile in $b$, esiste finito il (*) $lim_(xi to b^-) \int_a^xi f(x)" d"x$.

Nel caso 2), una condizione sufficiente a garantire l'esistenza del limite (*) è che esista finito il $lim_(xi to b^-) \int_a^xi |f(x)|" d"x$: affinchè ciò accada è sufficiente che risulti $|f(x)|le K/(|x-b|^alpha)$, con $Kge 0$ e $0criterio del confronto) e questo si verifica in particolare quando esiste finito il:

$lim_(x to b^-) |x-b|^p |f(x)|$

per qualche $p<1$. Questo nel caso in cui $b$ sia finito.

Supponiamo ora che $f(x)$ sia definita in un intervallo $[a,+oo[$ e continua in tale intervallo.
Affinchè l'integrale improprio $\int_a^(+oo)f(x)" d"x$ esista finito è necessario che $lim_(x to +oo)f(x)=0$ e perciò se $f(x)$ non è infinitesima in $+oo$ l'integrale non può convergere!
Se la funzione integranda è infinitesima all'infinito, possiamo procedere oltre nella nostra analisi: come prima, una condizione sufficiente affinché l'integrale improprio esista finito è che $lim_(xi to +oo)\int_a^xi |f(x)|" d"x$ converga: tale condizione è sicuramente soddisfatta (ancora per il criterio del confronto, detto stavolta confronto asintotico) se risulta $|f(x)|le K/(|x|^alpha)$, con $Kge0$ e $alpha>1$, in un intorno di $+oo$ e ciò in particolare accade se:

$lim_(x to +oo)|x|^p|f(x)|$

esiste finito per qualche $p>1$.

In ambedue i casi ($b$ finito o non), l'importante è determinare se l'integrando è un infinito/infinitesimo dotato di ordine $<$/$>$ di $1$ oppure capire se esso può essere maggiorato con un infinito/infinitesimo di ordine $<$/$>$ di $1$. Per fare ciò in alcuni casi basta usare i limiti fondamentali, in altri bisogna applicare i teoremi di de l'Hopital, in altri ancora si devono ricordare gli sviluppi di Taylor-MacLaurin delle funzioni elementari: la strategia da adottare dipende ovviamente dalla funzione che ti trovi davanti.


Infine ti faccio notare che la funzione $tan((x^2+1)/(x^4+cosx))$ è continuissima in $[2,+oo[$, quindi non vedo perchè ti siano venuti dubbi.

[Camillo]

Caso $ int_a^(+oo) f(x)dx $ : l'integrale improprio può esistere finito anche se la funzione $f(x) $ non è infinitesima per $ x rarr +oo $; in tal caso però il limite di $f(x) $ sempre per $x rarr +oo$ ,non deve esistere .
Esempio $ int_0^(+oo) sin(x^2)dx $ che esiste finito , vale $ sqrt(2*pi)/4 $ ed è l'integrale di Fresnel .

[Camillo]

"Camillo":Caso $ int_a^(+oo) f(x)dx $ : l'integrale improprio può esistere finito anche se la funzione $f(x) $ non è infinitesima per $ x rarr +oo $; in tal caso però il limite di $f(x) $ sempre per $x rarr +oo$ ,non deve esistere .
Esempio $ int_0^(+oo) sin(x^2)dx $ che esiste finito , vale $ sqrt(2*pi)/4 $ ed è l'integrale di Fresnel .

Commenti ?

[gugo82]

"Camillo":Caso $ int_a^(+oo) f(x)dx $ : l'integrale improprio può esistere finito anche se la funzione $f(x) $ non è infinitesima per $ x rarr +oo $; in tal caso però il limite di $f(x) $ sempre per $x rarr +oo$ ,non deve esistere .
Esempio $ int_0^(+oo) sin(x^2)dx $ che esiste finito , vale $ sqrt(2*pi)/4 $ ed è l'integrale di Fresnel .

"Camillo":Commenti?

Hai perfettamente ragione.
La condizione $lim_(xto +oo)f(x)=0$ non è affatto necessaria alla convergenza semplice dell'integrale $\int_a^(+oo)f(x)" d"x$, come mostra l'esempio dell'integrale di Fresnel.
Una condizione necessaria, forse, alla convergenza di $\int_a^(+oo)f(x)" d"x$ è che l'integrando o sia infinitesimo o non conservi definitivamente segno costante intorno a $+oo$ (nel senso che non esista alcun $M>a$ tale che $f>0$ oppure $f<0$ identicamente in $[M,+oo[$).
Ma, in generale, il problema della convergenza semplice degli integrali impropri è davvero complesso (non reale! ).

Grazie per la correzione Camillo.