Integrale improprio

[Sk_Anonymous]

é da mille anni che non faccio integrali impropri

esiste il seguente?

come devo procedere?

L'integrale è:
$int_(RR)1/(1-x^2)dx$

[Sk_Anonymous]

Naturalmente senza calcolarlo.

[TomSawyer1]

Beh, essendo che $int1/(1+x^2)dx=tan^(-1)x+c$, dalla tavola degli integrali..

[Sk_Anonymous]

"Crook":Beh, essendo che $int1/(1+x^2)dx=tan^(-1)x+c$, dalla tavola dei logaritmo.

è $1-x^2$

[TomSawyer1]

Svista. Allora scrivilo $int1/(1-x^2)dx=int1/((1-x)(1+x))dx=int(1/2)/(1-x)dx+int(1/2)/(1+x)dx$.

[fireball1]

Ma l'integrale è esteso a tutto $RR$ !

[Camillo]

La funzione integranda è $ 1/(1-x^2) $ .

[Luca.Lussardi]

Non è definito su tutto $\RR$; i problemi stanno nei punti $x=1$ e $x=-1$.

[TomSawyer1]

Quindi come si può procedere?

[fireball1]

Lo so, mi riferivo al testo dell'esercizio...
Certo che non è definito su tutto $RR$.
Comunque è chiaro che la funzione non è
integrabile su $RR$ per il fatto che
per $x->1$ e per $x-> -1$ essa
è un infinito di ordine 1 (rispetto
a $1/(x-1)$ e $1/(x+1)$, ovviamente).

[Sk_Anonymous]

Volendo utilizzare i criteri di confronto,come posso fare?

[Luca.Lussardi]

Non puoi farci niente. Se tu consideri l'integrale tra $1$ e $1+\delta$ questo diverge negativamente; invece tra $1-\delta$ e $1$ diverge positivamente. Ne segue che la funzione data non è integrabile in senso improprio.

[Kroldar]

Giusto per dire qualcosa in più qualora possa interessare...

Essendo il grado del denominatore superiore di almeno una unità rispetto al grado del numeratore e siccome tutti gli zeri reali della funzione integranda sono semplici, allora l'integrale esiste sicuramente nel senso del valor principale. Per calcolarne il valore si può notare che la somma dei residui nei punti $-1$ e $1$ è pari a $0$, sicché l'integrale a valor principale è nullo.

[elgiovo]

Integrali generalizzati più interessanti sarebbero stati $int_1^(+oo)1/(1-x^2)dx$ o $int_0^1 1/(1-x^2)dx$, dal momento che, per esempio, $int_1^oo 1/x^2 dx=1$. Questi li puoi fare per confronto asintotico scomponendo la frazione $1/(1-x^2)=1/2 1/(1+x)+1/2 1/(1-x)$.