Integrale improprio

[Burn83]

Ciao ragazzi..mi aiutate a risolvere l'integrale di questa funzione (da 0 a +inf):

$\int_0^{+\infty}((\text{arctan}x)^(2/a))/((sin(sqrt(x))+ x^3)) dx$

ci ho provato a risolverlo...ma quando lo scompongo in due...mi blocco!

[Kroldar]

potresti riscrivere meglio l'integrando? in particolare non mi è chiaro quel 2/a

[Bandit1]

e se utilizzi la serie di taylor?
cmq concordo: scrivi meglio

[Burn83]

a è una costante..lo devo studiare per a>0....

Cmq e proprio lui brutto...non io che lo scrivo così....

Aiutatemi..perfavore!!

[cavallipurosangue]

Burn impara ad usare MathML, vedrai che le persone che ti risponderanno aumenteranno in numero...

[cavallipurosangue]

Cmq così super velocemente ti dico che per $x\to+\infty$ il numeratore è limitato, quindi contapoco ai fini dell'integrale, mentre il denominatore diverge con ordine 3, quindi la funzione in un intorno di infinito converge di sicuro, in un intorno di 0, invece basta che usi gli sviluppi noti di Taylor...

[Sk_Anonymous]

"Burn83":Ciao ragazzi..mi aiutate a risolvere l'integrale di questa funzione (da 0 a +inf):

$\int_0^{+\infty}((\text{arctan}x)^(2/a))/((sin(sqrt(x))+ x^3)) dx$

ci ho provato a risolverlo...ma quando lo scompongo in due...mi blocco!

Suppongo ti venga richiesto di stabilire per quali valori del parametro $a \in \mathbb{R}$ quel bell'integralozzo è convergente, sia mai di calcolarlo... Sia perciò $X$ l'insieme massimale $\subseteq [0, +\infty[$ ove è possibile definire la funzione $x \to ((\text{arctan}x)^(2/a))/((sin(sqrt(x))+ x^3))$. Si verifica facilmente che $X := ]0, +\infty[$, e che inoltre $f(x) > 0$, per ogni $x \in X$. Onde dedurre che la natura dell'integrale generalizzato $I(a) := \int_0^{+\infty} f(x) dx$, cioè il fatto che, per un assegnato valore di $a \in \mathbb{R}$, esso sia convergente o divergente, è legato esclusivamente al comportamento dell'integranda per $x \to 0^+$ ed $x \to +\infty$. Senonché, qualunque sia $a \in \mathbb{R}$, esistono chiaramente $K_a, M_a \in \mathbb{R}^+$ tali che $f(x) \le \frac{K_a}{x^3}$, per ogni $x > M_a$. Tanto basta per stabilire che $I(a)$ converge/diverge, al variare di $a \in \mathbb{R}$, in funzione della sola singolarità di $f$ in $x = 0$. D'altro canto $f(x)$ ~ $x^{2/a - 1/2}$, per $x \to 0^+$, per cui $I(a)$ converge/diverge - per confronto asintotico - sse $2/a - 1/2 < 1$. Adesso si tratta semplicemente di risolvere una stupida disequazione.