Integrale improprio 1/x
Salve, avrei una doanda da porre.
L'integrale improprio $\int_-1^1f(x)dx$ con f(x)= 1/x quale valore assume? Ho osservato 2 risoluzioni che consistono in:
1) $\lim_{n \to \infty}[\int_-1^(-1/n)f(x)dx + int_(1/n)^1f(x)dx]$ E sviluppando i calcoli entro il limite si trova che si annulla tutto quindi si otterrebbe 0.
2) $lim_(a->0^-) \int_-1^af(x)dx$ + $lim_(b->0^+) \int_b^1f(x)dx$ che risulta +$oo$ - $oo$
Vorrei sapere che significato ha, o quale dei due metodi è corretto o maggiori delucidazioni al riguardo dato che se nella prima risoluzione sostituisco 1/n con 3/n nell'estremo di integrazione il risultato è ln(1/3). Ringrazio chi risponderà!
L'integrale improprio $\int_-1^1f(x)dx$ con f(x)= 1/x quale valore assume? Ho osservato 2 risoluzioni che consistono in:
1) $\lim_{n \to \infty}[\int_-1^(-1/n)f(x)dx + int_(1/n)^1f(x)dx]$ E sviluppando i calcoli entro il limite si trova che si annulla tutto quindi si otterrebbe 0.
2) $lim_(a->0^-) \int_-1^af(x)dx$ + $lim_(b->0^+) \int_b^1f(x)dx$ che risulta +$oo$ - $oo$
Vorrei sapere che significato ha, o quale dei due metodi è corretto o maggiori delucidazioni al riguardo dato che se nella prima risoluzione sostituisco 1/n con 3/n nell'estremo di integrazione il risultato è ln(1/3). Ringrazio chi risponderà!
Risposte
Quell'integrale lo puoi calcolare a valore principale di Cauchy. Per fare questo, ti basta notare che la funzione $f(x) = 1/x$ è dispari, e che l'intervallo di integrazione è simmetrico rispetto all'origine.
Potresti brevemente spiegarmi,anche se non formalmente,cosa significa "calcolare a valore principale di Cauchy" ? Non conosco questo concetto.
Mmm.. Pensa a questo:
$ lim_{epsilon->0^+} int_epsilon^1 1/x dx = lim_{epsilon->0^-} - int_(-1)^epsilon 1/x dx$
Se ne convieni, il risultato dell'integrale di cui prima è immediato.
$ lim_{epsilon->0^+} int_epsilon^1 1/x dx = lim_{epsilon->0^-} - int_(-1)^epsilon 1/x dx$
Se ne convieni, il risultato dell'integrale di cui prima è immediato.
Quindi il valore delll'integrale risulta essere -$oo$ + $oo$.
Saresti così gentile da dirmi cosa c'è che non funziona nel primo metodo?
Saresti così gentile da dirmi cosa c'è che non funziona nel primo metodo?
Non è una cosa proprio banale quella dell'integrazione nel senso del valore principale, però. Anzi concettualmente è una questione sottile. Qui c'è una spiegazione fornita da Gugo:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#409316
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#409316
Ok ti ringrazio. Ho dato una occhiata veloce ed ho visto che per ora ci sono concetti che ancora non ho acquisito quindi ci lavorerò su. Grazie per il link!
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