Integrale improprio
Salve a tutti ragazzi ho un problema con questo integrale che ha un evidente problema con 0
$int_0^1 sqrt(x)ln(1+sqrt(x))dx$
applico prima la banale formula per parti
$(2x^(3/2)(ln(1+sqrt(x))))/3- int_p^1 x/(1+sqrt(x))$ dopodiché applico la sostituzione $t=sqrt(x)$ e $x=t^2$ la derivata di t è $1/(2sqrt(x)$ quindi viene $int_p^1 t^4/(1+t) dt$ ma se divido i polinomi non mi trovo assoliutamente con il risultato proposto dal libro cioé $[(27-4sqrt(3)_pi]/4$
$int_0^1 sqrt(x)ln(1+sqrt(x))dx$
applico prima la banale formula per parti
$(2x^(3/2)(ln(1+sqrt(x))))/3- int_p^1 x/(1+sqrt(x))$ dopodiché applico la sostituzione $t=sqrt(x)$ e $x=t^2$ la derivata di t è $1/(2sqrt(x)$ quindi viene $int_p^1 t^4/(1+t) dt$ ma se divido i polinomi non mi trovo assoliutamente con il risultato proposto dal libro cioé $[(27-4sqrt(3)_pi]/4$
Risposte
A me così evidente non pare, visto che è continua su tutto $[0,+infty)$
Hai ragione, mi sono confuso
"anto_zoolander":Me ne sono accorto ,ma resta il fatto che non so come mai esca $_pi$
A me così evidente non pare, visto che è continua su tutto $[0,+infty)$
Puoi postare tutti i passaggi? Così cerchiamo assieme l’errore, qualora dovesse esserci.
"anto_zoolander":
Puoi postare tutti i passaggi? Così cerchiamo assieme l’errore, qualora dovesse esserci.
llora applico subito la formula per parti e questo è il risultato $(2x^(3/2)(ln(1+sqrt(x)))/3-int_0^1 x/(1+sqrt(x))$ dopodiché sostituisco $t=sqrt(x)$ allora $x=t^2$ la derivata di t è $1/(2sqrt(x))$ ma quindi $dx=2t$ quinddi diventa $2int_0^1 t^3/(1+t)$
faccio la divisione tra polinomi ed esce $int t^2+int t-int 1 +int 1/(t+1)$ a questo punto l'integrale è risolto ma non c'è alcuna formula trigometrica
l'integrale ti viene così?
perchè è corretto.
PS: scusa ma sto studiando, quindi perdo tempo
$intsqrtx log(1+sqrtx)dx=2/3x^(3/2)log(1+sqrtx)-2/3[1/3x^(3/2)-x/2+sqrtx-log(1+sqrtx)]$
perchè è corretto.
PS: scusa ma sto studiando, quindi perdo tempo
"anto_zoolander":
l'integrale ti viene così?
$intsqrtx log(1+sqrtx)dx=2/3x^(3/2)log(1+sqrtx)-2/3[1/3x^(3/2)-x/2+sqrtx-log(1+sqrtx)]$
perchè è corretto.
PS: scusa ma sto studiando, quindi perdo tempo
Ma allora se non sono io da dove esce quel $_pi$ nella risposta,non so proprio
Ciao Felix123321,
Come sempre in questi casi partirei col risolvere l'integrale indefinito; integrando per parti si ha:
$\int \sqrt x ln(1 + \sqrt x) dx = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt x) - \int 2/3 x^{3/2} 1/(1 + \sqrt x) \cdot 1/(2\sqrt x) dx = $
$ = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt x) - 1/3 \int x/(1 + \sqrt x) dx $
Posto $t := \sqrt{x} \implies dt = 1/(2 \sqrt x) dx \implies dx = 2t dt $ nel secondo integrale, si ha:
$ \int x/(1 + \sqrt x) dx = \int t^2/(1 + t) 2 t dt = 2\int t^3/(t + 1) dt = 2\int (t^3 + 1 - 1)/(t + 1) dt = 2 \int (t^2 - t + 1)dt - 2 \int (dt)/(t + 1) = $
$ = 2/3 t^3 - t^2 + 2t - 2 ln(1 + t) + c = 2/3 x^{3/2} - x + 2 sqrt{x} - 2 ln(1 + \sqrt{x}) + c $
Quindi si ha:
$ \int \sqrt x ln(1 + \sqrt x) dx = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt{x}) - 1/3 \int x/(1 + \sqrt{x}) dx = $
$ = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt{x}) - 2/9 x^{3/2} + x/3 - 2/3 sqrt{x} + 2/3 ln(1 + \sqrt{x}) + c = $
$ = - 2/9 x^{3/2} + 2/3 (x^{3/2} + 1) ln(1 + \sqrt{x}) + x/3 - 2/3 sqrt{x} + c $
Pertanto si ha:
$ \int_0^1 \sqrt x ln(1 + \sqrt x) dx = [- 2/9 x^{3/2} + 2/3 (x^{3/2} + 1) ln(1 + \sqrt{x}) + x/3 - 2/3 sqrt{x}]_0^1 = $
$ = [- 2/9 + 2/3 (1 + 1) ln(2) + 1/3 - 2/3 ] = 4/3 ln(2) - 5/9 $
Tutto questo per dire che IMHO il risultato riportato sul tuo libro è errato...
Come sempre in questi casi partirei col risolvere l'integrale indefinito; integrando per parti si ha:
$\int \sqrt x ln(1 + \sqrt x) dx = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt x) - \int 2/3 x^{3/2} 1/(1 + \sqrt x) \cdot 1/(2\sqrt x) dx = $
$ = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt x) - 1/3 \int x/(1 + \sqrt x) dx $
Posto $t := \sqrt{x} \implies dt = 1/(2 \sqrt x) dx \implies dx = 2t dt $ nel secondo integrale, si ha:
$ \int x/(1 + \sqrt x) dx = \int t^2/(1 + t) 2 t dt = 2\int t^3/(t + 1) dt = 2\int (t^3 + 1 - 1)/(t + 1) dt = 2 \int (t^2 - t + 1)dt - 2 \int (dt)/(t + 1) = $
$ = 2/3 t^3 - t^2 + 2t - 2 ln(1 + t) + c = 2/3 x^{3/2} - x + 2 sqrt{x} - 2 ln(1 + \sqrt{x}) + c $
Quindi si ha:
$ \int \sqrt x ln(1 + \sqrt x) dx = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt{x}) - 1/3 \int x/(1 + \sqrt{x}) dx = $
$ = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt{x}) - 2/9 x^{3/2} + x/3 - 2/3 sqrt{x} + 2/3 ln(1 + \sqrt{x}) + c = $
$ = - 2/9 x^{3/2} + 2/3 (x^{3/2} + 1) ln(1 + \sqrt{x}) + x/3 - 2/3 sqrt{x} + c $
Pertanto si ha:
$ \int_0^1 \sqrt x ln(1 + \sqrt x) dx = [- 2/9 x^{3/2} + 2/3 (x^{3/2} + 1) ln(1 + \sqrt{x}) + x/3 - 2/3 sqrt{x}]_0^1 = $
$ = [- 2/9 + 2/3 (1 + 1) ln(2) + 1/3 - 2/3 ] = 4/3 ln(2) - 5/9 $
Tutto questo per dire che IMHO il risultato riportato sul tuo libro è errato...
"pilloeffe":
Ciao Felix123321,
Come sempre in questi casi partirei col risolvere l'integrale indefinito; integrando per parti si ha:
$\int \sqrt x ln(1 + \sqrt x) dx = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt x) - \int 2/3 x^{3/2} 1/(1 + \sqrt x) \cdot 1/(2\sqrt x) dx = $
$ = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt x) - 1/3 \int x/(1 + \sqrt x) dx $
Posto $t := \sqrt{x} \implies dt = 1/(2 \sqrt x) dx \implies dx = 2t dt $ nel secondo integrale, si ha:
$ \int x/(1 + \sqrt x) dx = \int t^2/(1 + t) 2 t dt = 2\int t^3/(t + 1) dt = 2\int (t^3 + 1 - 1)/(t + 1) dt = 2 \int (t^2 - t + 1)dt - 2 \int (dt)/(t + 1) = $
$ = 2/3 t^3 - t^2 + 2t - 2 ln(1 + t) + c = 2/3 x^{3/2} - x + 2 sqrt{x} - 2 ln(1 + \sqrt{x}) + c $
Quindi si ha:
$ \int \sqrt x ln(1 + \sqrt x) dx = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt{x}) - 1/3 \int x/(1 + \sqrt{x}) dx = $
$ = 2/3 x^{3/2} ln(1 + \sqrt{x}) - 2/9 x^{3/2} + x/3 - 2/3 sqrt{x} + 2/3 ln(1 + \sqrt{x}) + c = $
$ = - 2/9 x^{3/2} + 2/3 (x^{3/2} + 1) ln(1 + \sqrt{x}) + x/3 - 2/3 sqrt{x} + c $
Pertanto si ha:
$ \int_0^1 \sqrt x ln(1 + \sqrt x) dx = [- 2/9 x^{3/2} + 2/3 (x^{3/2} + 1) ln(1 + \sqrt{x}) + x/3 - 2/3 sqrt{x}]_0^1 = $
$ = [- 2/9 + 2/3 (1 + 1) ln(2) + 1/3 - 2/3 ] = 4/3 ln(2) - 5/9 $
Tutto questo per dire che IMHO il risultato riportato sul tuo libro è errato...
Ciao piloeffe come al solito sei molto preciso. Devo dire che non mi aspettavo che il mio integrale fosse giusto anziché usare +1-1 dopo la sostituzione ho diviso il polinomio il che credo sia lo stesso. Che dire sono allibito che una prova d'esame sia sbagliata
@Felix123321: "Allibito" da cosa, in particolare?
I docenti sono esseri umani, non calcolatori, e possono sbagliare.
Probabile che sia "avanzato" un $pi$ da un copia-incolla-modifica, oppure che sia saltato un esponente nella traccia... Embè?
I docenti sono esseri umani, non calcolatori, e possono sbagliare.
Probabile che sia "avanzato" un $pi$ da un copia-incolla-modifica, oppure che sia saltato un esponente nella traccia... Embè?
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