Integrale improprio

[francesco.bartone.7]

ciao ragazzi
devo discutere la convergenza di questo integrale improprio (in 0) al variare di a:
$\int _0^{sqrt\left(2\right)}\ (e^(x^2+a)-e^2)/log(1+x^(5/2))dx $
ho fatto le equivalenze asintotiche per semplificarmelo e trovare un integrale improprio notevole ma mi viene una roba tipo $\int _0^{sqrt\left(2\right)}\ (x^2+a)/x^(5/2)$ e non so che fare se qualche buon anima riesce a rispondermi che domani ho l'esame...grazie

[killing_buddha]

Intorno a zero quell'integrale va come \(x^{-5/2}\), che problema ti causa?

[pilloeffe]

Ciao francesco1212,

"killing_buddha":Intorno a zero quell'integrale va come $x^{-5/2} $

Quindi in generale l'integrale proposto diverge per confronto con l'integrale improprio notevole $int_0^b 1/x^p dx $ con $ p = 5/2 > 1 $
Però se non erro esiste un valore di $a $ per il quale l'integrale proposto converge, infatti si può scrivere:

$ \int_0^{sqrt{2}}\ (e^(x^2+a)-e^2)/log(1+x^(5/2)) dx = e^2 \int_0^{sqrt{2}} (e^(x^2 + a - 2) - 1)/(x^2 + a - 2) \cdot (x^2 + a - 2)/x^{5/2} \cdot x^{5/2}/log(1+x^{5/2}) dx $
Per $ a = 2 $ l'ultimo integrale scritto per $x to 0 $ si comporta come $e^2 \int_0^{sqrt{2}} 1/sqrt{x} dx $ che converge per confronto con l'integrale improprio notevole $int_0^b 1/x^q dx $ con $ q = 1/2 < 1 $

[francesco.bartone.7]

grazie pilloeffe