Integrale improprio

[VALE014]

buon pomeriggio non riesco a continuare questo integrale. $ int_(0)^(oo) (arctgx)/(xsqrt(x) )dx $ . l'ho provato a svolgere per sostituzione ma mi sono bloccata a questo passaggio : $ 2int_(0)^(oo) (arctg (t^2))/(t^3 )dx $ avevo pensato di continuare per parti, ma non mi viene..grazie in anticipo

[anto_zoolander]

Per $x->0$ si ottiene che $arctan(x)/(xsqrtx)approx1/sqrt(x)$ quindi converge

Per $x->+infty$ quell’integrale ha integranda positiva e può essere maggiorato da $pi/2int_(c)^(+infty)1/(xsqrtx)dx$ e converge per confronto

Ps: se ti servisse il calcolo della primitiva dimmelo

[VALE014]

si il problema è il calcolo della primitiva che non riesco a continuare ..grazie mille =)

[anto_zoolander]

$int(arctan(x))/(xsqrtx)dx=int(arctan(x))/(x^(3/2))dx=-2/(sqrtx)arctan(x)+2int1/(sqrtx(1+x^2))dx$

questo ottenuto integrando per parti, in particolare integrando $x^(-3/2)$ e derivando $arctan(x)$
ora occupiamoci del secondo integrale, per comodità poniamo $x=y^2$ e quindi $2ydy=dx$

$2int1/(sqrtx(1+x^2))dx=2int(2y)/(y(1+y^4))dy=4int1/(1+y^4)dy$

questo possiamo scomporlo in fratti semplici considerando che

$1+y^4=1+2y^2+y^4-2y^2=(1+y^2)^2-2y^2=(1-sqrt2y+y^2)(1+sqrt2y+y^2)$

risolvendo $1/((1-sqrt2y+y^2)(1+sqrt2y+y^2))=(Ay+B)/(1-sqrt2y+y^2)+(Cy+D)/(1+sqrt2y+y^2)$

trovi $1/(1+y^4)=1/(4sqrt2)[(2y+2sqrt2)/(y^2+sqrt2y+1)-(2y-2sqrt2)/(y^2-sqrt2y+1)]$

pensiamo al primo che lo vediamo come

$1/(4sqrt2)[int(2y+sqrt2)/(y^2+sqrt2y+1)dy+int(sqrt2)/(y^2+sqrt2y+1)dy]$

ora il primo è banalmente $1/(4sqrt2)log(y^2+sqrt2y+1)$

il secondo invece $sqrt2int1/(y^2+sqrt2y+1)dy=2int(sqrt2)/((sqrt2y+1)^2+1)dy$

questo è banalmente $2arctan(sqrt2y+1)$

quindi sarà $1/(4sqrt2)[log(y^2+sqrt2y+1)+2arctan(sqrt2y+1)]$

in maniera analoga, praticamente con gli stessi procedimenti, l'altro integrale sarà

$-1/(4sqrt2)[log(y^2-sqrt2y+1)-2arctan(sqrt2y-1)]$

quindi ricongiungendo il tutto verrà(ricordando di moltiplicare per $4$)

$1/sqrt2 ln((y^2+sqrt2y+1)/(y^2-sqrt2y+1))+sqrt2(arctan(sqrt2y+1)+arctan(sqrt2y-1))$

dunque la soluzione sarà

[size=80]$int(arctanx)/(xsqrtx)dx=-2/sqrtx arctanx+1/sqrt2 ln((x+sqrt(2x)+1)/(x-sqrt(2x)+1))+sqrt2arctan[(sqrt(2x)+1)+arctan(sqrt(2x)-1)]$[/size]

non dovrebbero esserci errori

[VALE014]

Grazie mille )