Integrale improprio
Ciao ragazzi, sono in piena difficoltà nello studio della convergenza con parametro $alpha$ di un integrale improprio. Ho studiato la teoria e visto qualche esercizio di come possono essere risolti, ma quando mi trovo davanti ad uno di essi vado nel pallone.
Ad esempio dato quest'esercizio io l'avrei risolto in tal modo:
$ int_(2)^(+oo) e^sinx/sqrt(x^alpha) dx $
esso a $+oo$ si comporta asintoticamente come: $ int_(2)^(+oo) 1/sqrt(x^alpha) dx $ con problema a $+oo$
quindi prendo $ g(x)=1/(sqrt(x^alpha))$
svolgo il limite : $ lim_(x->+oo) f(x)/g(x)$
$ lim_(x->+oo) (e^sinx)/(sqrt(x^alpha))*(sqrt(x^alpha))$
ottenendo il limite uguale a $ e $ o $ 1/e $
Se mi potete dare una mano su dove sbaglio il ragionamento ve ne sarei molto grato.
Grazie anticipatamente
Ad esempio dato quest'esercizio io l'avrei risolto in tal modo:
$ int_(2)^(+oo) e^sinx/sqrt(x^alpha) dx $
esso a $+oo$ si comporta asintoticamente come: $ int_(2)^(+oo) 1/sqrt(x^alpha) dx $ con problema a $+oo$
quindi prendo $ g(x)=1/(sqrt(x^alpha))$
svolgo il limite : $ lim_(x->+oo) f(x)/g(x)$
$ lim_(x->+oo) (e^sinx)/(sqrt(x^alpha))*(sqrt(x^alpha))$
ottenendo il limite uguale a $ e $ o $ 1/e $
Se mi potete dare una mano su dove sbaglio il ragionamento ve ne sarei molto grato.
Grazie anticipatamente
Risposte
Non ho capito come hai approcciato il problema
Se intendevi dire "le due funzioni da integrare sono asintoticamente equivalenti" è falso, perché come hai osservato più avanti il loro rapporto non tende a $1$.
Se invece intendevi dire "il primo integrale converge se e solo se il secondo integrale converge" è vero (perché?), perciò ti basta studiare la convergenza di $ int_(2)^(+oo) 1/sqrt(x^alpha) dx $
"ale.vh":
$ int_(2)^(+oo) e^sinx/sqrt(x^alpha) dx $
esso a $ +oo $ si comporta asintoticamente come: $ int_(2)^(+oo) 1/sqrt(x^alpha) dx $ con problema a $ +oo $
Se intendevi dire "le due funzioni da integrare sono asintoticamente equivalenti" è falso, perché come hai osservato più avanti il loro rapporto non tende a $1$.
Se invece intendevi dire "il primo integrale converge se e solo se il secondo integrale converge" è vero (perché?), perciò ti basta studiare la convergenza di $ int_(2)^(+oo) 1/sqrt(x^alpha) dx $
Scusa l'ignoranza, ma potresti essere più esplicito. Tale esercizio come lo avresti risolto
Di sicuro avrei iniziato come hai fatto tu, cioè confrontando la funzione "originale" con $\frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}$: vorremmo poter dire che i valori di $\alpha$ che fanno convergere l'integrale di partenza sono esattamente gli stessi che fanno convergere l'integrale di $\frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}$. Questo sarebbe sicuramente vero se le due funzioni fossero asintoticamente equivalenti, ovvero se il loro rapporto tendesse a $1$: in questo caso non succede, ma possiamo cavarcela ugualmente osservando che
$e^{-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}} <= \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{\alpha}}} <= e \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}$
Da queste due disuguaglianze si conclude che:
- se $\int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx$ converge, allora $\int_2^{+\infty} \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx <= e \cdot \int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx < +\infty$, quindi anche $\int_2^{+\infty} \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx$ converge
- se $\int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx$ diverge, allora $\int_2^{+\infty} \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx >= e^{-1} \cdot \int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx = +\infty$, quindi anche $\int_2^{+\infty} \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx$ diverge
Con questo abbiamo mostrato che lo studio della convergenza di $\int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx$ è un problema equivalente a quello iniziale (nel senso che la risposta è la stessa), ma allora abbiamo finito perché sappiamo che $\int_{x_0}^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ (con $x_0$ reale positivo) converge se e solo se $p>1$, quindi nel tuo caso si trova $\alpha/2>1 \Rightarrow \alpha>2$
$e^{-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}} <= \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{\alpha}}} <= e \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}$
Da queste due disuguaglianze si conclude che:
- se $\int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx$ converge, allora $\int_2^{+\infty} \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx <= e \cdot \int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx < +\infty$, quindi anche $\int_2^{+\infty} \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx$ converge
- se $\int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx$ diverge, allora $\int_2^{+\infty} \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx >= e^{-1} \cdot \int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx = +\infty$, quindi anche $\int_2^{+\infty} \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx$ diverge
Con questo abbiamo mostrato che lo studio della convergenza di $\int_2^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{\alpha}}}dx$ è un problema equivalente a quello iniziale (nel senso che la risposta è la stessa), ma allora abbiamo finito perché sappiamo che $\int_{x_0}^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ (con $x_0$ reale positivo) converge se e solo se $p>1$, quindi nel tuo caso si trova $\alpha/2>1 \Rightarrow \alpha>2$
Ok grazie mille, sei stato gentilissimo
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