Integrale improprio

[zerbo1000]

ho problemi a infinito su questo improprio

$int_(0)^(oo) 1/|e^(3x)-1|^alpha$ con $alpha>0$

ho provato cosi ma non va

$int_()^(oo) 1/|e^(3x)-1|^alpha ~ int_()^(oo) 1/|e^(3x)|^alpha$ converge $alpha>1/2$


il risultato totale dovrebbe essere converge per alpha tra 0 e 1

che è quello che mi viene che fa a 0, però non cozza con il mio risultato a infinito.

Suggestions??

[billyballo2123]

Innanzitutto dato che siamo in un intorno di $+\infty$ puoi far sparire il modulo.
Inoltre per ogni $\alpha>0$, nell'intorno di $+\infty$ si ha che $e^{\alpha x}>x^2$ e dunque $1/{e^{\alpha x}}<1/x^2$. Di conseguenza nell'intorno di $+\infty$ converge per ogni $\alpha>0$. Ovviamente per $\alpha< 0$ diverge.

[zerbo1000]

"billyballo2123":
Inoltre per ogni $\alpha>0$, nell'intorno di $+\infty$ si ha che $e^{\alpha x}>x^2$

Se $alpha=1/10$ e $x=10$ non mi sembra che $e^{\alpha x}>x^2$

[billyballo2123]

Si ma $x=10$ non mi sembra nell'intorno di $+\infty$

[zerbo1000]

Puoi dimostrare che in un intorno di $oo$ e per $alpha>0$ $e^{\alpha x}>x^2$?

per quanto sia grande x puoi prendere anche $alpha$ grande uguale e la cosa si ripete

[donald_zeka]

$e^x$ è un infinito di ordine superiore a qualsiasi polinomio. Basta applicare Hopital su e)$e^(alphax)/(x^2)$ per x->+00

[zerbo1000]

nel senso che $alpha in rr $ mentre $x in rr + (oo)$ ?


ps:come si fa il simbolo dei campi di numeri ? r c n z ?

[donald_zeka]

Tu puoi prende $alpha$ positivo piccolo quanto vuoi, anche $alpha=10^(-1000000)$, ciònonostante esisterà sempre un punto $x_0$ in cui $e^(alphax)$ da quel punto in poi sarà maggiore di $x^2$, questo numero $x_0$ può essere talmente grande da non essere neanche immaginabile, ma esiste, pertanto per $x->+oo$, $e^(alphax)$ è maggiore di $x^2$

[zerbo1000]

Non capisco perché non posso assumere $x=1/alpha$

[donald_zeka]

Mi sembra che tu non abbia chiaro il concetto di infinito...

[zerbo1000]

Credo di avere capito la x tende quindi muovendosi può superare un numero fissato, cioè alfa

Cioè è come ho detto prima alpha è in rr e non può essere infinito

[donald_zeka]

E' un concetto di derivata...la funzione $e^x$ (o qualsiasi funzione del tipo $e^(alphax)$ con $alpha>0$) CRESCE più velocemente di qualsiasi altra funzione, quindi a $x=+$INFINITO $e^x$ sarà maggiore di qualsiasi altra funzione , proprio perché cresce più velocemente e PRIMA O POI supererà l'altra funzione.

[donald_zeka]

O in termini più tecnici, non è altro che una conseguenza del teorema di Hopital. Prova a fare $lim x->+oo$ $e^(alphax)/x^n$, qualiasi sia $n>0$ e qualsiasi sia $alpha>0$, vedrai che il risultato è uno e uno solo.

[billyballo2123]

"zerbo1000":Non capisco perché non posso assumere $x=1/alpha$

Perché $\alpha$ è un parametro fissato, mentre $x$ è la variabile di integrazione.