Integrale improprio
Ciao a tutti!
Il mio problema è discutere la convergenza dell'integrale al variare di $alpha$.
$ int_(1)^(+oo ) [1-cos(e^((x-1)^alpha)-1)]/(x^alphaarctan^alpha (log^alpha x)) dx $
Come posso iniziare la discussione? devo risolvere l'integrale o c'è qualcosa che io non vedo? Devo usare il confronto con una altra funzione più grande?
Grazie!
Il mio problema è discutere la convergenza dell'integrale al variare di $alpha$.
$ int_(1)^(+oo ) [1-cos(e^((x-1)^alpha)-1)]/(x^alphaarctan^alpha (log^alpha x)) dx $
Come posso iniziare la discussione? devo risolvere l'integrale o c'è qualcosa che io non vedo? Devo usare il confronto con una altra funzione più grande?
Grazie!
Risposte
Ciao,
$int_2^(+\infty)\frac{1-\cos(e^((x-1)^(\alpha))-1)}{x^(\alpha)\arctan^(\alpha)(\ln^(\alpha)(x))} dx <= int_2^(+\infty) \frac{2}{x^(\alpha)\arctan^(\alpha)(\ln^(\alpha)(x))} dx $
Questo ci assicura che all'infinito non abbiamo problemi se $\alpha>1$. Invece per $x \rightarrow 1$ Abbiamo che:
$\arctan^(\alpha)(ln^(\alpha)(x)) ~ ln^((\alpha)^2)(x) + o(ln^((\alpha)^2)(x))$
$1-cos(e^((x-1)^\alpha)-1) ~ \frac{1}{2}(e^((x-1)^\alpha)-1)^2+ o((e^((x-1)^\alpha)-1)^2)$
$e^((x-1)^\alpha)-1 ~ (x-1)^\alpha +o((x-1)^\alpha)$
E quindi l'integranda, in un intorno destro di $x=1$, si comporta come:
$\frac{(x-1)^(2\alpha)}{2*x^(\alpha)*log^(\alpha^2)(x)} $
Ora devi studiare al limite per $x \rightarrow 1$ il comportamento di questa funzione "familiare".
$int_2^(+\infty)\frac{1-\cos(e^((x-1)^(\alpha))-1)}{x^(\alpha)\arctan^(\alpha)(\ln^(\alpha)(x))} dx <= int_2^(+\infty) \frac{2}{x^(\alpha)\arctan^(\alpha)(\ln^(\alpha)(x))} dx $
Questo ci assicura che all'infinito non abbiamo problemi se $\alpha>1$. Invece per $x \rightarrow 1$ Abbiamo che:
$\arctan^(\alpha)(ln^(\alpha)(x)) ~ ln^((\alpha)^2)(x) + o(ln^((\alpha)^2)(x))$
$1-cos(e^((x-1)^\alpha)-1) ~ \frac{1}{2}(e^((x-1)^\alpha)-1)^2+ o((e^((x-1)^\alpha)-1)^2)$
$e^((x-1)^\alpha)-1 ~ (x-1)^\alpha +o((x-1)^\alpha)$
E quindi l'integranda, in un intorno destro di $x=1$, si comporta come:
$\frac{(x-1)^(2\alpha)}{2*x^(\alpha)*log^(\alpha^2)(x)} $
Ora devi studiare al limite per $x \rightarrow 1$ il comportamento di questa funzione "familiare".
Grazie!
Il risultato che mi viene in definitiva è $ x in (1,2) $ .
Ho ancora utilizzato il fatto che $ x rarr 1 $ :
$ ln^(alpha ^ (alpha)) (x)~(x-1)^(alpha^2) $
Non riesco a capire, invece, perché
$ e^((x-1)^alpha)-1~(x-1)^alpha $ . Perché la sottrazione del numero 1 viene assorbita nello sviluppo? Come faccio a farlo sparire? Perché facendo la derivata il numero diventa 0? Se ci fosse 3, 8 o 10 cambierebbe qualcosa?
Grazie mille!
Il risultato che mi viene in definitiva è $ x in (1,2) $ .
Ho ancora utilizzato il fatto che $ x rarr 1 $ :
$ ln^(alpha ^ (alpha)) (x)~(x-1)^(alpha^2) $
Non riesco a capire, invece, perché
$ e^((x-1)^alpha)-1~(x-1)^alpha $ . Perché la sottrazione del numero 1 viene assorbita nello sviluppo? Come faccio a farlo sparire? Perché facendo la derivata il numero diventa 0? Se ci fosse 3, 8 o 10 cambierebbe qualcosa?
Grazie mille!
Capito! Non mi ricordavo bene lo sviluppo di $e^x $ pensavo fosse $x$ invece è $1+x$.
Però mi è sorto un altro dubbio: gli sviluppi che abbiamo utilizzato valgono per $ x rarr 0 $, perché possiamo farli valere per $x rarr 1$?
Grazie
Però mi è sorto un altro dubbio: gli sviluppi che abbiamo utilizzato valgono per $ x rarr 0 $, perché possiamo farli valere per $x rarr 1$?
Grazie
Se $\alpha>0$ possiamo porre $(x-1)^\alpha = y$. Notando che per $x \to 1$ si ha che $y \to 0$ (1)
e, inoltre, ricordando che:
$\lim_{y \to 0}\frac{e^y-1}{y} = 1$
si ha che $\e^((x-1)^\alpha) -1 ~ (x-1)^\alpha$, per $x \to 1$.
Nel nostro caso, la funzione integranda assume comportamento al limite a causa del fattore:
$\frac{(x-1)^\alpha}{ln^(\alpha^2)(x)}$,
Che può essere riscritto, facendo ancora la sostituzione $y = x-1$ - e ricodando che valgono ancora le (1) - nel modo seguente:
$(\frac{1}{\frac{ln^\alpha(y+1)}{y}})^\alpha = (\frac{1}{ln^\alpha[(y+1)^(1/y)]})^\alpha$
Anche questo è un limite notevole, quindi a questo punto puoi riconoscere che...
e, inoltre, ricordando che:
$\lim_{y \to 0}\frac{e^y-1}{y} = 1$
si ha che $\e^((x-1)^\alpha) -1 ~ (x-1)^\alpha$, per $x \to 1$.
Nel nostro caso, la funzione integranda assume comportamento al limite a causa del fattore:
$\frac{(x-1)^\alpha}{ln^(\alpha^2)(x)}$,
Che può essere riscritto, facendo ancora la sostituzione $y = x-1$ - e ricodando che valgono ancora le (1) - nel modo seguente:
$(\frac{1}{\frac{ln^\alpha(y+1)}{y}})^\alpha = (\frac{1}{ln^\alpha[(y+1)^(1/y)]})^\alpha$
Anche questo è un limite notevole, quindi a questo punto puoi riconoscere che...
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