Integrale improprio
$ int_(0)^(729)1/(x^a (x^(1/3) -9) dx $ Determinare per quali a converge.. Dopo qualche passaggio facendo il limite per x-> 0 ed applicando il confronto asintotico giungo a dire che per x->0 converge per a<1. Il problema si pone quando vado a fare per x->729 poichè il mite tende all'infinito..ma a questo punto come devo procedere? L'integrale converge o diverge.. Ho provato a calcolare l'integrale e farne poi il limite con i rispettivi valori 0 e 729 ma mi esce un numero finito.. quindi anche se in x= 729 la funzione diverge è possibile che complessivamente l'integrale converga? Non ho molto chiaro questa cosa...
Risposte
Ciao Zumbo
Ok
Beh ma il limite ti tende all'infinito anche per $x->0^+$, eppure lì hai dichiarato giustamente che l'integrale converge per $a<1$. Qui il procedimento è identico, solo che stavolta l'esito non è influenzato da $a$ - quindi è addirittura più facile.
Credo che tu abbia sbagliato da qualche parte, non può esserti uscita una costante. Potresti postare i tuoi passaggi?
"Zumbo":
$ int_(0)^(729)1/(x^a (x^(1/3) -9) dx $ Determinare per quali a converge.. Dopo qualche passaggio facendo il limite per x-> 0 ed applicando il confronto asintotico giungo a dire che per x->0 converge per a<1.
Ok
"Zumbo":
Il problema si pone quando vado a fare per x->729 poichè il mite tende all'infinito..
Beh ma il limite ti tende all'infinito anche per $x->0^+$, eppure lì hai dichiarato giustamente che l'integrale converge per $a<1$. Qui il procedimento è identico, solo che stavolta l'esito non è influenzato da $a$ - quindi è addirittura più facile.
"Zumbo":
Ho provato a calcolare l'integrale e farne poi il limite con i rispettivi valori 0 e 729 ma mi esce un numero finito
Credo che tu abbia sbagliato da qualche parte, non può esserti uscita una costante. Potresti postare i tuoi passaggi?
Qui il problema è "doppio": la funzione non è definita per gli estremi di integrazione, quindi va analizzata nei due casi. Per $x\to 0^+$ essa è asintotica a $-1/{9x^a}$ e quindi c'è convergenza solo se $a<1$. D'altra parte, per $x\to 729^-$ il confronto asintotico conduce alla situazione seguente
$$\frac{1}{x^a(x^{1/3}-9)}\sim \frac{1}{729^a(x^{1/3}-9)}\cdot\frac{x^{2/3}+9x^{/3}+81}{x^{2/3}+9x^{/3}+81}=\frac{x^{2/3}+9x^{1/3}+81}{729^a(x-729)}=\frac{243}{729^a(x-729)}$$
L'ultima cosa scritta implica che la funzione non è integrabile, visto che l'esponente del termine infinitesimo $x-729$ vale 1.
P.S.: ho usato la "razionalizzazione", per cui $(x^{1/3}- y^{1/3})((x^{2/3}+ (xy)^{1/3}+y^{2/3})=x-y$
$$\frac{1}{x^a(x^{1/3}-9)}\sim \frac{1}{729^a(x^{1/3}-9)}\cdot\frac{x^{2/3}+9x^{/3}+81}{x^{2/3}+9x^{/3}+81}=\frac{x^{2/3}+9x^{1/3}+81}{729^a(x-729)}=\frac{243}{729^a(x-729)}$$
L'ultima cosa scritta implica che la funzione non è integrabile, visto che l'esponente del termine infinitesimo $x-729$ vale 1.
P.S.: ho usato la "razionalizzazione", per cui $(x^{1/3}- y^{1/3})((x^{2/3}+ (xy)^{1/3}+y^{2/3})=x-y$
Disconosco questa razionalizzazione...1) potevo giungere alla conclusione che l'integrale diverge perchè facendo il limite esso tendeva a infinito? Suppongo di no! 2) Se la funzione non è integrabile in x=729 significa che essa diverge, ma se diverge come mai...se calcolo la primitiva dell'integrale e calcolo l'integrale definito in 0 e 729 mi esce un valore finito? Grazie mille per la disponibilità prestatami! 
PS: non riesco a capire dal secondo passaggio in poi! :S Come mai hai moltiplicato proprio per quei valori da dove li hai presi?
PS: non riesco a capire dal secondo passaggio in poi! :S Come mai hai moltiplicato proprio per quei valori da dove li hai presi?
"Zumbo":
1) potevo giungere alla conclusione che l'integrale diverge perchè facendo il limite esso tendeva a infinito? Suppongo di no!
Primo errore: certo che puoi! Se il limite dell'integranda tende a infinito con ordine $>=1$ allora l'integrale diverge, altrimenti converge.
"Zumbo":
2) Se la funzione non è integrabile in x=729 significa che essa diverge, ma se diverge come mai...se calcolo la primitiva dell'integrale e calcolo l'integrale definito in 0 e 729 mi esce un valore finito?
Secondo errore - recidivo tra l'altro
Ti ho già risposto sopra che non può venire una costante, devi avere sbagliato qualche passaggio.
Ma il procedimento l'ha fatto il mio prof. e controllando su wolfram alpha la primitiva è corretta (parlando dell'integrale indefinito sempre), quando vado a sostituire i valori però risulta convergere! mmmm..
"Zumbo":
Ma il procedimento l'ha fatto il mio prof. e controllando su wolfram alpha la primitiva è corretta (parlando dell'integrale indefinito sempre)
Sì la primitiva esiste certamente.
"Zumbo":
quando vado a sostituire i valori però risulta convergere! mmmm..
Puoi postare questa primitiva per favore?
$ 6t +9[log|x^(1/6)-3| - log|x^(1/6)+3|]+k $ Ho risolto... perchè non avevo riportato la primitiva nella variabile iniziale dopo aver fatto la sostituzione di conseguenza erroneamente risultava convergente... grazie mille davvero!
"Brancaleone":
[quote="Zumbo"]1) potevo giungere alla conclusione che l'integrale diverge perchè facendo il limite esso tendeva a infinito? Suppongo di no!
Primo errore: certo che puoi! Se il limite dell'integranda tende a infinito con ordine $>=1$ allora l'integrale diverge, altrimenti converge.
NUOVO MESSAGGIO: ma se ad esempio ho l'integrale:
$ int_(0)^(2) 1/x^(1/2) dx $ e faccio il limite per x che tende a 0 se lo faccio della funzione integranda l'integrale diverge se invece lo faccio della primitiva, allora l'integrale converge come dovrebbe essere che sia... quindi non sarebbe giusto dire che il limite va fatto alla primitiva della funzione integranda e non alla funzione integranda stessa?
Scusate se riporto esempi ma ho un metodo abbastanza empirico!
"Zumbo":
2) Se la funzione non è integrabile in x=729 significa che essa diverge, ma se diverge come mai...se calcolo la primitiva dell'integrale e calcolo l'integrale definito in 0 e 729 mi esce un valore finito?
Secondo errore - recidivo tra l'altro
Ti ho già risposto sopra che non può venire una costante, devi avere sbagliato qualche passaggio.[/quote]
ma se ad esempio ho l'integrale:
$ int_(0)^(2) 1/x^(1/2) dx $ e faccio il limite per x che tende a 0 se lo faccio della funzione integranda l'integrale diverge se invece lo faccio della primitiva, allora l'integrale converge come dovrebbe essere che sia... quindi non sarebbe giusto dire che il limite va fatto alla primitiva della funzione integranda e non alla funzione integranda stessa?
Scusate se riporto esempi ma ho un metodo abbastanza empirico!
$ int_(0)^(2) 1/x^(1/2) dx $ e faccio il limite per x che tende a 0 se lo faccio della funzione integranda l'integrale diverge se invece lo faccio della primitiva, allora l'integrale converge come dovrebbe essere che sia... quindi non sarebbe giusto dire che il limite va fatto alla primitiva della funzione integranda e non alla funzione integranda stessa?
Scusate se riporto esempi ma ho un metodo abbastanza empirico!
Guarda qui - comunque tieni conto che l'integranda deve mantenere il segno costante nell'intervallo considerato.
Guarda anche qui
"Zumbo":
ma se ad esempio ho l'integrale:
$ int_(0)^(2) 1/x^(1/2) dx $ e faccio il limite per x che tende a 0 se lo faccio della funzione integranda l'integrale diverge se invece lo faccio della primitiva, allora l'integrale converge [...]
Guarda anche qui
Non ho capito cosa vuoi dire... non c'è una risposta alla mia domanda.
"Zumbo":
ma se ad esempio ho l'integrale:
$ int_(0)^(2) 1/x^(1/2) dx $ e faccio il limite per x che tende a 0 se lo faccio della funzione integranda l'integrale diverge se invece lo faccio della primitiva, allora l'integrale converge come dovrebbe essere che sia... quindi non sarebbe giusto dire che il limite va fatto alla primitiva della funzione integranda e non alla funzione integranda stessa?
Scusate se riporto esempi ma ho un metodo abbastanza empirico!
facciamo un po' di chiarezza : anche se l'integrando diverge,l'integrale converge perchè l'integrando è un infinito di ordine minore di $1$ per $x rarr0$
quindi ,non c'è necessariamente incompatibilità fra divergenza dell'integrando e convergenza dell'integrale
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