Integrale improprio
Avendo l'integrale improprio:
$ int_(0)^(1) ((2-x)^pi-2)/(xsin(3x)) dx $
perchè la soluzione dice che diverge negativamente?
La funzione è limitata in 1 e non lo è in 0 dove è positiva e divergente.
P.S.: Io avevo messo che divergeva positivamente.
$ int_(0)^(1) ((2-x)^pi-2)/(xsin(3x)) dx $
perchè la soluzione dice che diverge negativamente?
La funzione è limitata in 1 e non lo è in 0 dove è positiva e divergente.
P.S.: Io avevo messo che divergeva positivamente.
Risposte
ciao, penso che diverga negativamente perchè quando svolgi quell'integrale (se riesci a calcolarlo 
) calcoli il risultato da 1 a 0 e dunque ti ricordi come si calcola un integrale da $a$ a $b$ dopo che hai ottenuto il risultato dello stesso?
) calcoli il risultato da 1 a 0 e dunque ti ricordi come si calcola un integrale da $a$ a $b$ dopo che hai ottenuto il risultato dello stesso?
Si ma in ogni caso l'integrale definito anche se improprio rappresenta l'area che c'è tra la funzione e l'asse delle x.
Esiste uno zero nel'intervallo dato e dividendo in due parti ottengo un area positiva illimitata a sinistra , e un area negativa ma limitata a destra . Se li sommo per quanto possa essere grossa l'area a destra é sempre limitata e quindi prevarra sempre l'area positiva a sinistra nella somma.
Esiste uno zero nel'intervallo dato e dividendo in due parti ottengo un area positiva illimitata a sinistra , e un area negativa ma limitata a destra . Se li sommo per quanto possa essere grossa l'area a destra é sempre limitata e quindi prevarra sempre l'area positiva a sinistra nella somma.
ok, ma resta di fatto che te devi calcolare l'integrale improprio, che si comporta come un definito solo che devi prestare attenzione a come si comporta nello zero, di conseguenza, puoi vedere quell'integrale scritto anche cosi se vuoi:
$ -int_(1)^(0) ((2-x)^pi-2)/(xsin(3x)) dx $ e forse è piu chiaro...e penso che diverga negativamente per questo motivo...cioè, te devi calcolarlo alla fine...magari qualcuno te lo può spiegare meglio
$ -int_(1)^(0) ((2-x)^pi-2)/(xsin(3x)) dx $ e forse è piu chiaro...e penso che diverga negativamente per questo motivo...cioè, te devi calcolarlo alla fine...magari qualcuno te lo può spiegare meglio
Quindi gli integrali impropri non rappresentano l'area sottostante la funzione ( somma delle aree positive meno somma delle areee negative)?
Ho capito il tuo ragionamento, e lo condivido ma non riesco a capire perchè pensando alle aree non quadra.
Perchè anche mettendo il meno e girando l'intervallo alla fine tende a essere positiva lo stesso seguendo il mio discorso.
Ho capito il tuo ragionamento, e lo condivido ma non riesco a capire perchè pensando alle aree non quadra.
Perchè anche mettendo il meno e girando l'intervallo alla fine tende a essere positiva lo stesso seguendo il mio discorso.
bhè gli integrali definiti rappresentano l'area sottostante la funzione da un punto $x1$ ad uno $x2$, è interessante questa cosa, magari un matematico te la sa spiegare meglio, in linea di principio anchio sarei daccordo con te dato che intuitivamente l'area, che non si può comunque calcolare, diverge a $+infty$, ma se applichi le proprietà dell'integrale definito scopri che diverge a $-infty$...anche se, dato che un area non può essere negativa, la puoi comunque esprimere come un "area" divergente e, non penso neanche sia sbagliato dire che l'"area" diverge positivamente però se si applicano le regole degli integrali come si deve si scopre che nel tuo esempio diverge a $-infty$...questa la mia idea...vediamo cosa dicono anche gli altri magari non vorrei dirti castronate...
non vorrei dirti castronate...
Comunque una cosa sbagliata nel ragionamento è che prendendo una funzione positiva allora la funzione integrale è positiva.
Se io prendo tipo $1/x^2$ l'integrale improprio è $ int_(0)^(1) 1/x^2 dx $ = $[-1/x]$
Sostituendo i valori di integrazione, questo diverge positivamente : $ lim_(x -> 0^+) -1 +1/x = +oo $
Se io prendo tipo $1/x^2$ l'integrale improprio è $ int_(0)^(1) 1/x^2 dx $ = $[-1/x]$
Sostituendo i valori di integrazione, questo diverge positivamente : $ lim_(x -> 0^+) -1 +1/x = +oo $
Ho avuto la conferma dal professore , l'integrale improprio diverge positivamente.
In ogni caso ho superato l'esame
In ogni caso ho superato l'esame
ah...veramente? E ti ha spiegato il perchè bene? Sarei curioso di saperlo anchio
Comunque bravo Dove studi?
Comunque bravo
Dove studi?
La risposta del professore è stata:
Si osserva che la funzione data è positiva se $x<2-2^(1/pi)$ che è un valore compreso fra 0 e 1.
Quindi l'integrale fra 0 e 1 si può scrivere come la somma degli integrali fra 0 e questo valore più l'integrale fra questo valore e 1.
Il primo integrale è improprio perché per $xrarr0$ la funzione a denominatore tende a zero mentre quella a numeratore tende a $2^(pi)-2$, e quindi il quoziente tende a $+oo$.
Il secondo integrale è definito e, essendo la funzione negativa in questo intervallo, assumerà un valore negativo.
Si osserva che il denominatore
$xsin(3x)$ è equivalente a $3x^2$ per $xrarr0$.
Il numeratore invece tende a $2^(pi)-2$ e quindi è equivalente a $2^(pi)-2$ per $xrarr0$.
Quindi la frazione è equivalente a
$(2^(pi)-2)/(3x^2) $per $xrarr0$.
Poiché l'integrale fra 0 e un valore positivo di $1/x^2$ diverge positivamente, per il Criterio del confronto asintotico anche l'integrale improprio fra 0 e $2-2^(1/pi)$ della funzione data diverge positivamente.
Per le proprietà additive degli integrali impropri, l'integrale dato diverge positivamente.
Quindi alla fine l'errore era nella correzione del test.
Studio al Politecnico di Torino
Si osserva che la funzione data è positiva se $x<2-2^(1/pi)$ che è un valore compreso fra 0 e 1.
Quindi l'integrale fra 0 e 1 si può scrivere come la somma degli integrali fra 0 e questo valore più l'integrale fra questo valore e 1.
Il primo integrale è improprio perché per $xrarr0$ la funzione a denominatore tende a zero mentre quella a numeratore tende a $2^(pi)-2$, e quindi il quoziente tende a $+oo$.
Il secondo integrale è definito e, essendo la funzione negativa in questo intervallo, assumerà un valore negativo.
Si osserva che il denominatore
$xsin(3x)$ è equivalente a $3x^2$ per $xrarr0$.
Il numeratore invece tende a $2^(pi)-2$ e quindi è equivalente a $2^(pi)-2$ per $xrarr0$.
Quindi la frazione è equivalente a
$(2^(pi)-2)/(3x^2) $per $xrarr0$.
Poiché l'integrale fra 0 e un valore positivo di $1/x^2$ diverge positivamente, per il Criterio del confronto asintotico anche l'integrale improprio fra 0 e $2-2^(1/pi)$ della funzione data diverge positivamente.
Per le proprietà additive degli integrali impropri, l'integrale dato diverge positivamente.
Quindi alla fine l'errore era nella correzione del test.
Studio al Politecnico di Torino
grazie, avrei avuto dei problemi con questo tipo di esercizio probabilmente
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