Integrale improprio
ciao!
Qualcuno sa come risolvere questo integrale?
$ int_(-oo )^(+oo ) e^(-x^2) dx $
so che deve venire: $ pi ^(1/2) $
grazie!
Qualcuno sa come risolvere questo integrale?
$ int_(-oo )^(+oo ) e^(-x^2) dx $
so che deve venire: $ pi ^(1/2) $
grazie!
Risposte
hai fatto gli integrali doppi?
si
Allora prova a risolvere prima questo integrale:
\[
\int_{\mathbb R^2} e^{-(x^2+y^2)}dxdy.
\]
Hint: coordinate polari! Poi concludi applicando Fubini-Tonelli.
\[
\int_{\mathbb R^2} e^{-(x^2+y^2)}dxdy.
\]
Hint: coordinate polari! Poi concludi applicando Fubini-Tonelli.
ok ci provo. grazie!
mi viene cosi:
$ int int_()^()e^(-(x^2+y^2)) dx dy =int int_()^()e^(-rho ^2)rho drho dvartheta =-(vartheta /2)e^(-rho ^2) $
è giusto?
$ int int_()^()e^(-(x^2+y^2)) dx dy =int int_()^()e^(-rho ^2)rho drho dvartheta =-(vartheta /2)e^(-rho ^2) $
è giusto?
Per dimostrare che
\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt \pi,\]
si può procedere in questo modo: poniamo
\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\lim_{n\to+\infty}\int_{-n}^{n}e^{-x^2}dx:=I_n;\]
e consideriamo la funzione in due variabili:
\[f(x;y)=e^{-(x^2+y^2)},\]
e cacoliamo l'integrale di $f(x;y)$ sul quadrato $Q_n:=\{(x;y)\in\RR^2 [-n;n]\times[-n;n]\}$ e sulla circonferenza $C_n=:\{(x;y)\in \RR^2: x^2+y^2\le n^2\}.$
Allora
\begin{align}
\iint_{Q _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy&=\int_{x=-n}^{n}e^{-x^2}\left( \int_{y=-n}^{n}e^{-y^2} \,\,dy \right)dx=\int_{x=-n}^{n}e^{-x^2}\,\,dx \int_{y=-n}^{n}e^{-y^2} \,\,dy =I^2_n \\
\iint_{C _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy&=\int_{\rho=0}^{n} \int_{\vartheta=0}^{2\pi}e^{-\rho^2} \,\,\rho\,\, d\rho d\vartheta=2\pi\left[e^{-\rho^2}{2}\right] _{\rho=0}^{n}=\pi\left(1-e^{-n^2}\right).
\end{align}
A questo punto bisogna capire che relazione c'è tra il due integrali; se chiamiamo $I$ il valore del limite $\lim_{n\to+\infty}\int_{-n}^{n}e^{-x^2}dx,$ avremo:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\iint_{Q _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy&=\lim_{n\to+\infty} I^2_n =I^2\\
\lim_{n\to+\infty}\iint_{C _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy&=\lim_{n\to+\infty} \pi\left(1-e^{-n^2}\right)=\pi.
\end{align}
Quello che resta da far vedere e che i due limiti sono uguali, cioè $I^2=\pi.$ Intuitivamente la cosa è facile da accettare, in quanto quando <$n\to+\infty$ il quadrato $Q_n$ si estende e invade tutto il piano $\RR^2,$ cosi come la circonferenza $C_n;$ quindi i due integrali risultano uguali poichè
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\iint_{Q _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy &=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy\\
\lim_{n\to+\infty}\iint_{C _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy &=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy.
\end{align}
Per giustificare più formalmente questo ragionamento intuitivo (che non vale purtroppo matematicamente), possiamo dire che affinchè al limite vienga lo stesso numero per entrambi gli integrli, basta far vedere che il limite della differenza è zero:
\begin{align}
0\le\iint_{Q _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy -\iint_{C _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy &=\iint_{Q _n\setminus C_n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy \\
&\le\iint_{Q _n\setminus C_n}e^{-n^2}\,\,dxdy \\
&=e^{-n^2}\iint_{Q _n\setminus C_n}\,\,dxdy\\
&=e^{-n^2}(4n^2-\pi n^2)\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}0;
\end{align}
quindi questo mostra che
\[I^2=\pi,\quad\Leftrightarrow\quad I=\sqrt \pi.\]
\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt \pi,\]
si può procedere in questo modo: poniamo
\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\lim_{n\to+\infty}\int_{-n}^{n}e^{-x^2}dx:=I_n;\]
e consideriamo la funzione in due variabili:
\[f(x;y)=e^{-(x^2+y^2)},\]
e cacoliamo l'integrale di $f(x;y)$ sul quadrato $Q_n:=\{(x;y)\in\RR^2 [-n;n]\times[-n;n]\}$ e sulla circonferenza $C_n=:\{(x;y)\in \RR^2: x^2+y^2\le n^2\}.$
Allora
\begin{align}
\iint_{Q _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy&=\int_{x=-n}^{n}e^{-x^2}\left( \int_{y=-n}^{n}e^{-y^2} \,\,dy \right)dx=\int_{x=-n}^{n}e^{-x^2}\,\,dx \int_{y=-n}^{n}e^{-y^2} \,\,dy =I^2_n \\
\iint_{C _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy&=\int_{\rho=0}^{n} \int_{\vartheta=0}^{2\pi}e^{-\rho^2} \,\,\rho\,\, d\rho d\vartheta=2\pi\left[e^{-\rho^2}{2}\right] _{\rho=0}^{n}=\pi\left(1-e^{-n^2}\right).
\end{align}
A questo punto bisogna capire che relazione c'è tra il due integrali; se chiamiamo $I$ il valore del limite $\lim_{n\to+\infty}\int_{-n}^{n}e^{-x^2}dx,$ avremo:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\iint_{Q _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy&=\lim_{n\to+\infty} I^2_n =I^2\\
\lim_{n\to+\infty}\iint_{C _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy&=\lim_{n\to+\infty} \pi\left(1-e^{-n^2}\right)=\pi.
\end{align}
Quello che resta da far vedere e che i due limiti sono uguali, cioè $I^2=\pi.$ Intuitivamente la cosa è facile da accettare, in quanto quando <$n\to+\infty$ il quadrato $Q_n$ si estende e invade tutto il piano $\RR^2,$ cosi come la circonferenza $C_n;$ quindi i due integrali risultano uguali poichè
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\iint_{Q _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy &=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy\\
\lim_{n\to+\infty}\iint_{C _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy &=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy.
\end{align}
Per giustificare più formalmente questo ragionamento intuitivo (che non vale purtroppo matematicamente), possiamo dire che affinchè al limite vienga lo stesso numero per entrambi gli integrli, basta far vedere che il limite della differenza è zero:
\begin{align}
0\le\iint_{Q _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy -\iint_{C _n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy &=\iint_{Q _n\setminus C_n}e^{-(x^2+y^2)}\,\,dxdy \\
&\le\iint_{Q _n\setminus C_n}e^{-n^2}\,\,dxdy \\
&=e^{-n^2}\iint_{Q _n\setminus C_n}\,\,dxdy\\
&=e^{-n^2}(4n^2-\pi n^2)\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}0;
\end{align}
quindi questo mostra che
\[I^2=\pi,\quad\Leftrightarrow\quad I=\sqrt \pi.\]
grazie mille!
molto gentile
molto gentile
@Noisemaker: bella spiegazione con disegno! 
Però scusami, avrei una domanda: c'è davvero bisogno di introdurre quel quadrato? Voglio dire: usando Fubini-Tonelli si ha subito che - nelle tue notazioni
\[
\int_{\mathbb R^2} e^{-x^2-y^2}dxdy = I^2
\]
Il primo membro lo si calcola facilmente in polari, tenendo presente che il piano si parametrizza con $(\rho, \theta) \in (0,+\infty) \times \[0, 2\pi)$ ed è fatta, no? Mi perdo qualcosa?
Però scusami, avrei una domanda: c'è davvero bisogno di introdurre quel quadrato? Voglio dire: usando Fubini-Tonelli si ha subito che - nelle tue notazioni
\[
\int_{\mathbb R^2} e^{-x^2-y^2}dxdy = I^2
\]
Il primo membro lo si calcola facilmente in polari, tenendo presente che il piano si parametrizza con $(\rho, \theta) \in (0,+\infty) \times \[0, 2\pi)$ ed è fatta, no? Mi perdo qualcosa?
@Paolo90:
in realtà no non c'è bosogno il tuo é preciso come approcio (anzi, probabilmente è quello giusto)... ma era per rendere più geometricamente intuibile il risultato che ho introdotto $Q_n$ e $C_n$ ...
... mi hanno insegnato che in matematica vince la soluzione più semplice, che in questo caso sarebbe ovviamenente la tua! (e quindi io non ho capito nulla di ciò che mi hanno insegnato!!!!) 
in realtà no non c'è bosogno il tuo é preciso come approcio (anzi, probabilmente è quello giusto)... ma era per rendere più geometricamente intuibile il risultato che ho introdotto $Q_n$ e $C_n$ ...
... mi hanno insegnato che in matematica vince la soluzione più semplice, che in questo caso sarebbe ovviamenente la tua!
(e quindi io non ho capito nulla di ciò che mi hanno insegnato!!!!)
Nono, ma va benissimo, il tuo approccio mi piace molto, lo trovo elegante, certamente dà una maggiore intuizione "visiva" di quello che sta capitando rispetto al mio (che poi non è mio 
, mi sembra di ricordare che sia di Laplace).
A giudicare dai tuoi post, si direbbe invece che hai capito molto bene quanto ti hanno insegnato e che sei uno piuttosto in gamba!
, mi sembra di ricordare che sia di Laplace)."Noisemaker":
(e quindi io non ho capito nulla di ciò che mi hanno insegnato!!!!)
A giudicare dai tuoi post, si direbbe invece che hai capito molto bene quanto ti hanno insegnato e che sei uno piuttosto in gamba!
ti ringrazio Paolo (da oggi Laplace)
L'integrale sul quadrato credo che vada introdotto perchè l'integrale di Eulero-Poisson è la radice dell'integrale sul quadrato, non di quello sul cerchio, o sbaglio? Tale risultato si trova applicando Fubini al quadrato di lato 2R centrato in 0 e separando gli integrali. Questa operazione non si può fare per il cerchio perchè l'integrale di Eulero-Poisson non è separatamente uguale a ciascuno dei due integrali in $\theta$ e $\rho$.
Che cos'è l'integrale di Eulero Poisson?
Comunque, ho controllato e no, non è strettamente necessario fare quel ragionamento elegante con il quadrato, bastano le coordinate polari; cfr., ad esempio, Folland, pag. 79, prop 2.53.
P.S. Benvenut* tra noi!
Comunque, ho controllato e no, non è strettamente necessario fare quel ragionamento elegante con il quadrato, bastano le coordinate polari; cfr., ad esempio, Folland, pag. 79, prop 2.53.
P.S. Benvenut* tra noi!
Intendo dire $ int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx $
Forse ho fatto confusione con qualche altro nome e da bravo nabbo non ho provato ad usare la formula.
A me pare che quell'integrale vada introdotto, altrimenti come posso legittimare il fatto che $ (int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx)^2=int_(Cn)e^(-x^2-y^2) dxdy $ se faccio tendere il raggio all'infinito?
Sul quadrato invece posso applicare Fubini e notare che il mio integrale in due variabili ($ int_(Cn)e^(-x^2-y^2) dxdy $) è il prodotto dell'integrale che sto cercando per se stesso.
O forse mi sto impuntando su qualcosa di insensato...
PS: grazie del benvenuto
Forse ho fatto confusione con qualche altro nome e da bravo nabbo non ho provato ad usare la formula.
A me pare che quell'integrale vada introdotto, altrimenti come posso legittimare il fatto che $ (int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx)^2=int_(Cn)e^(-x^2-y^2) dxdy $ se faccio tendere il raggio all'infinito?
Sul quadrato invece posso applicare Fubini e notare che il mio integrale in due variabili ($ int_(Cn)e^(-x^2-y^2) dxdy $) è il prodotto dell'integrale che sto cercando per se stesso.
O forse mi sto impuntando su qualcosa di insensato...
PS: grazie del benvenuto
Grazie per le delucidazioni sul nome dell'integrale. 
By the way, sotto le ipotesi di Fubini-Tonelli
\[
\int_{X \times Y} f(x,y) d(\mu \otimes \nu) = \int_X \left( \int_Y f(x,y) d\nu\right) d\mu = \int_Y \left( \int_X f(x,y) d\mu\right) d\nu
\]
Prendi \(f(x,y)=\exp(-x^2-y^2)\) e \( \mu=\nu=\mathscr L\) la misura di Lebesgue unidimensionale (\(X=Y=\mathbb R\)). Allora
\[
\int_{\mathbb R^2} e^{-x^2-y^2}dxdy = \int_\mathbb R \int_\mathbb R e^{-x^2} dx e^{-y^2}dy = I^2.
\]
Ti torna tutto?
By the way, sotto le ipotesi di Fubini-Tonelli
\[
\int_{X \times Y} f(x,y) d(\mu \otimes \nu) = \int_X \left( \int_Y f(x,y) d\nu\right) d\mu = \int_Y \left( \int_X f(x,y) d\mu\right) d\nu
\]
Prendi \(f(x,y)=\exp(-x^2-y^2)\) e \( \mu=\nu=\mathscr L\) la misura di Lebesgue unidimensionale (\(X=Y=\mathbb R\)). Allora
\[
\int_{\mathbb R^2} e^{-x^2-y^2}dxdy = \int_\mathbb R \int_\mathbb R e^{-x^2} dx e^{-y^2}dy = I^2.
\]
Ti torna tutto?
Torna.
Sto facendo un corso di Analisi in cui tra gli argomenti un po' più "esterni" e di curiosità c'è il calcolo di questo integrale e il nostro professore l'ha fatto come te con il quadrato e il cerchio, quindi mi destabilizzava un po' il fatto che quel passaggio non fosse necessario.
Forse viene fatto in questo modo per rendere semplicemente più evidente la somiglianza tra $ int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx $ e la radice dell'integrale sul quadrato.
Grazie per la delucidazione
Sto facendo un corso di Analisi in cui tra gli argomenti un po' più "esterni" e di curiosità c'è il calcolo di questo integrale e il nostro professore l'ha fatto come te con il quadrato e il cerchio, quindi mi destabilizzava un po' il fatto che quel passaggio non fosse necessario.
Forse viene fatto in questo modo per rendere semplicemente più evidente la somiglianza tra $ int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx $ e la radice dell'integrale sul quadrato.
Grazie per la delucidazione
"Mandovai":
Forse viene fatto in questo modo per rendere semplicemente più evidente la somiglianza tra $ int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx $ e la radice dell'integrale sul quadrato.
Grazie per la delucidazione
Sì, senz'altro è come dici tu; generalmente (almeno così è successo a me), si vede il calcolo di quest'integrale prima di aver fatto teoria della misura, in sostanza si lavora alla Riemann con il content di Peano-Jordan e quindi quello lo si vede più come integrale improprio alla Riemann che come integrale "astratto" (nel senso della Teoria della Misura).
Comunque, prego, figurati: è stato un piacere.
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