Integrale Improprio
Discutere la convergenza del seguente integrale improprio
$ int_(-∞)^(+∞) (arctgx)/|x|^alpha dx $
Allora per prima cosa ho diviso l'integrale in:
$ -int_(-∞)^(0) (arctgx)/x^alpha dx $ + $ int_(0)^(+∞) (arctgx)/x^alpha dx $
Adesso inizio col primo dei due integrali e ne studio la convergenza al variare di $alpha$, in questo caso però, se $alpha$ è negativo 0 non è una singolarità, poichè la funzione integranda vi è continua, se invece $alpha$ è positivo zero è una possibile singolarità.. Sono comunque un pò confusa sul procedimento da usare, solitamente gli integrali che ho trovato sul libro hanno una difficoltà minore, la teoria fin qui l'ho ben capita..ma su come applicarla dovrei esercitarmi maggiormente. Comunque un aiuto su questo, si può avere?
$ int_(-∞)^(+∞) (arctgx)/|x|^alpha dx $
Allora per prima cosa ho diviso l'integrale in:
$ -int_(-∞)^(0) (arctgx)/x^alpha dx $ + $ int_(0)^(+∞) (arctgx)/x^alpha dx $
Adesso inizio col primo dei due integrali e ne studio la convergenza al variare di $alpha$, in questo caso però, se $alpha$ è negativo 0 non è una singolarità, poichè la funzione integranda vi è continua, se invece $alpha$ è positivo zero è una possibile singolarità.. Sono comunque un pò confusa sul procedimento da usare, solitamente gli integrali che ho trovato sul libro hanno una difficoltà minore, la teoria fin qui l'ho ben capita..ma su come applicarla dovrei esercitarmi maggiormente. Comunque un aiuto su questo, si può avere?
Risposte
innanzitutto si ha
$\lim_{x\to\pm\infty} ((\arctan x)/(|x|^\alpha))/((1)/(|x|^\alpha\))=\lim \arctan x = \pm \pi/2$
Quindi l'integrale si comporta perfettamente come $\int 1/|x^\alpha|$
$\lim_{x\to\pm\infty} ((\arctan x)/(|x|^\alpha))/((1)/(|x|^\alpha\))=\lim \arctan x = \pm \pi/2$
Quindi l'integrale si comporta perfettamente come $\int 1/|x^\alpha|$
quindi basta che studio i casi in cui converge quell'integrale al variare di $alpha$, giusto?
Si...ma è ovvio, è la serie armonica...converge per $\alpha<1$, diverge per $\alpha\geq 1$
sìsì, quello sì..grazie
Vi manca il caso per $x\to 0$, però!
In quel caso posso usare lo sviluppo di Taylor giusto?
Esatto. In realtà, basta il confronto locale (Taylor all'ordine più basso).
Sì, ok..per confronto mi viene che per x->0 l'integrale si comporta come $1/x^(alpha-1)$ e quindi converge se $alpha<2$ giusto?...comunque mi devo studiare anche i casi per +/- ∞
"Maryse":
Sì, ok..per confronto mi viene che per x->0 l'integrale si comporta come $1/x^(alpha-1)$ e quindi converge se $alpha<2$ giusto?...comunque mi devo studiare anche i casi per +/- ∞
Ovvio che devi studiare anche quelli, io mica ho detto di no. Alla fine ottieni due condizioni sui valori di $\alpha$ che, ovviamente, devono valere contemporaneamente. Per cui puoi concludere che lìintegrale converge... quando?
In definitiva, dovrebbe convergere per gli $alpha <2$..
Eh no. Nel caso in cui $x\to\pm\infty$ la funzione si comporta come $1/{|x|^\alpha}$ ed è noto che essa ha integrale convergente solo per $\alpha>1$.
Per cui in definitiva deve essere $1<\alpha<2$.
Per cui in definitiva deve essere $1<\alpha<2$.
"newton_1372":
Si...ma è ovvio, è la serie armonica...converge per $\alpha<1$, diverge per $\alpha\geq 1$
No, sinceramente, ma che stai dicendo?
"ciampax":
Eh no. Nel caso in cui $x\to\pm\infty$ la funzione si comporta come $1/{|x|^\alpha}$ ed è noto che essa ha integrale convergente solo per $\alpha>1$.
Per cui in definitiva deve essere $1<\alpha<2$.
Sìsì avevo chiuso il pc e mi ero accorta che avevo scritto male, ed il risultato alla fine usciva anche a me così grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo