Integrale Improprio

[DaniTB1]

Buonasera,
allo scritto di analisi non sono riuscito a svolgere questo integrale:

$ int_(0)^(pi /4 ) ((1+tgx^2)(tgx)^3)/(tgx^2+tgx-2) dx $

Poi durante a lezione la prof lo ha risolto e ha detto che era un integrale improprio perchè per pigreco quarti dava 0 al denominatore,dopodichè ha adoperato la sostituzione t=tgx che porta a:

$ int_(0)^(1) (t^3)/(t^2+t-2) dt =int_(0)^(1)(t^3)/((t-1)(t+2))dt $

A questo punto non ho capito con che passaggi ha dimostrato che l'integrale diverge e ha concluso così.
Qualcuno mi chiarisce le idee su quali passaggi può aver usato alla fine?

[Zero87]

"DaniTB":Qualcuno mi chiarisce le idee su quali passaggi può aver usato alla fine?

Non ne ho idea ma, personalmente, sono per il calcolo "meccanico" servendosi di una discreta dose di intuito.

Nel tuo caso
$\frac{t^3}{(t-1)(t+2)}= \frac{t^3-1+1}{(t-1)(t+2)}= \frac{t^3-1}{(t-1)(t+2)}+\frac{1}{(t-1)(t+2)}=$
$=\frac{t^2+t+1}{t+2}+ \frac{1}{(t-1)(t+2)}$

Ora, se andiamo ad integrare il tutto, del primo termine non mi importa nulla poiché non è quello che mi dà problemi (ho usato la scomposizione della differenza di cubi ed è sparito quel "fastidioso" $x-1$ al denominatore) mentre nel secondo c'è la singolarità per $t=1$ che crea problemi.
Se l'integrale diverge, dunque, la colpa è del secondo termine.

Ora, il secondo integrale è del tipo $\int 1/("polinomio di secondo grado con " \Delta>0) dt$ che si risolve scomponendo in fratti semplici.
Senza fare i calcoli, la primitiva sarà del tipo
$a\cdot log(|t-1|)+b \cdot log(|t+2|)$
(ho messo il modulo solo per rendere l'idea perché a seconda degli estremi di integrazione potrebbe venire $t-1$ o $1-t$ e per il secondo è una cosa simile)
e se la calcoliamo per $t->1$ mi da un bel $-\infty$...

Poi, possiamo sempre fare la scomposizione in fratti semplici con sistema ecc... ma per ora ho un po' da fare quindi vado più a occhio.

[DaniTB1]

Allora,anche io avevo risolto l'integrale indefinito,e una volta che avevo applicato il teorema fondamentale del calcolo integrale andando a sostituire pigreco quarti ottenevo un lg(o) e quindi meno infinito.

Ma questo era sufficente a concludere l'esercizio affermando che l'integrale era divergente a - infinito?

[Zero87]

"DaniTB":Ma questo era sufficente a concludere l'esercizio affermando che l'integrale era divergente a - infinito?

Se lo calcoli e viene $-\infty$ allora sappiamo che diverge. Comunque la soluzione che ho trovato in genere non è tanto accettata perché in genere si prendono sempre in considerazione minorazioni/maggiorazioni o altre cose che esulano dal calcolo diretto.
Però, almeno in questo caso, calcolandolo viene $-\infty$ quindi posso concludere che diverge, altrimenti verrebbe un valore finito, [size=80]no? [/size]

[21zuclo]

"DaniTB":

$ int_(0)^(1) (t^3)/(t^2+t-2) dt =int_(0)^(1)(t^3)/((t-1)(t+2))dt $

A questo punto non ho capito con che passaggi ha dimostrato che l'integrale diverge e ha concluso così.
Qualcuno mi chiarisce le idee su quali passaggi può aver usato alla fine?

Scusate se mi intrometto, così ripasso un po' gli integrali impropri, in sto caso di prima specie mi pare, mi ricordo questa definizione

sia $f:(a,b]\to RR$ e supponiamo f limitata e Riemann integrabile in $[x,b], \forall x\in (a,b)$. Si dice che f ammette integrale improprio di prima specie in $[a,b]$ se esiste finito $lim_(x\to a^+) \int_(x)^(b)f(t)dt$, in tal caso si pone $\lim_(x\to a^+)\int_(x)^(b)f(t)dt=\int_(a)^(b)f(t)dt$

qui nel tuo caso, bastava vedere subito che $\lim_(t\to 1^(-)) (t^3)/((t-1)(t+2))=-\infty$ mentre esiste finito per $t\to 0$

(il limite per $t\to 1$ viene $-\infty$ perchè stiamo considerando $t\to 1$ da sinistra)

dunque posso concludere che l'integrale diverge.