Integrale Improprio

[g171]

Ciao a tutti!
Stavo leggendo un testo di meccanica quantistica (non è una domanda di fisica ) e ad un certo punto il testo diceva si può dimostrare che l'integrare:
$int_(0)^(oo)z^2*(8πze^-z )dz $
dava un risultato convergente e che quindi con il passaggio alla meccanica quantistica si risolveva un problema di fisica classica.
Io credo di essere riuscito a risolvere questo integrale però volevo essere sicuro e chiedere a voi..
Ho incominciato riscrivendo meglio così:
$8πint_(0 )^(oo)z^3e^-z dx $
Ho risolto questo integrale utilizzando il metodo dell'integrazione per parti e dopo un po' di passaggi (non li scrivo tutti perchè ci impiegherei anni ) sono arrivato a questo risultato:
$8π[(-z^3-3z^2-6z-6)/e^-z)]$ il tutto calcolato tra 0 e $oo$
quindi ho sostituito a $oo$ $t$ e quindi sono arrivato al limite:
$-lim_(t->oo) 8π[(z^3+3z^2+6z+6)/e^z]$ il tutto calcolato tra 0 e $t$
cosi sostituendo $t$ e $0$ a $z$ sono arrivato a:
$-lim_(t->oo) 8π((t^3+3t^2+6t+6)/e^t)-(-48π)$
Il limite però è una forma indeterminata del tipo $[oo/oo]$, ho applicato quindi l'hopital e ho trovato la derivata del numeratore e del denominatore:
$-lim_(t->oo) 8π((3t^2+6t+6)/e^t)+48π$
Ancora una volta applico l'Hopital a causa dell' $[oo/oo]$:
$-lim_(t->oo) 8π((6t+6)/e^t)+48π$
aAncora l'hopital:
$-lim_(t->oo) 8π(6/e^t)+48π$
e adesso risolvo il limite e mi viene:
$0+48π=48π$ che come volevasi dimostrare è convergente
E' giusto quello che ho fatto?

[emiliomadonia]

Per dimostrare che l'integrale è convergenze io userei un opportuno criterio di convergenza come quello degli infinitesimi, viene molto piu semplice a mio avviso visto che non ti interessa calcolarne la somma.

[g171]

Grazie per la risposta matr1x02
E' vero, ma sono giusti i calcoli?
Grazie ancora!