Integrale improprio

[sheldon1]

scusate, sicuramente è una domanda banalissima, prendiamo l'integrale del seno da 0 a piu infinito \(\int\sinx \) (help non riesco a mettere gli estremi di integrazione come si fa?) , l'integrale è \(-cos(x) \) che quindi non ammette limite per x che tende a piu inifito giusto? quindi non esiste l'integrale improprio del seno giusto? però io ho pensato l'intervallo tra 0 e piu inifito me lo potrei vedere come una successione di intervalli [0,2pi],[2pi,4pi]... eccetera eccetera, tutti questi integrali sono nulli quindi anche la loro somma è nulla, come conciliare queste due visioni? mi sembrano buone entrambe le argomentazioni eppure portano a risultati diversi, grazie per l'aiuto
(e per piacere chiaritemi anche sul LaTex)

[Sk_Anonymous]

La dico in maniera un po' brutta: il tuo ragionamento vale per ogni intervallo chiuso e limitato di \(\displaystyle \mathbb{R} \) su cui puoi operare una tale suddivisione. L'operazione stessa di suddividere presuppone la limitatezza dell'intervallo su cui si lavora... Quando poi si passa al limite, bisogna svincolarsi un po' dal significato geometrico della questione: è possibile trovare infatti due successioni di punti \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) t.c. \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} -\cos(a_{n}) \ne \lim_{n \to \infty} -\cos (b_{n}) \]
Secondo me questo è un buon esempio di come sia "illecita" l'estensione non adeguatamente formalizzata del concetto di finito a quello di infinito matematicamente inteso.

Per la questione LaTeX:

\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sin(x) \; dx \)

produce \[\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sin(x) \; dx \]

[sheldon1]

in pratica io sto prendendo un intervallo aperto illimitato e lo vedo come unione infinita di insiemi compatti e questo non si puo fare? e qui che sbaglio?

[sheldon1]

un'altra domanda che posto direttamente qua cosi non apro un altro topic tanto l'argomento è simile:
perchè \(\displaystyle \int_{a}^{a} f(x) \; dx \) =0? si lo so che questo è uguale a \(\displaystyle F(a)-F(a)\) e che quindi è uguale a 0 pero quando noi facciamo un integrale stiamo sommando infinitamente tutte le ordinate dei punti, li il punto è uno solo ed è \(\displaystyle a\) quindi non dovrebbe venire proprio l'ordinata di tale punto ovvero \(\displaystyle f(a)\) ?

[Sk_Anonymous]

"sheldon":[...] quando noi facciamo un integrale stiamo sommando infinitamente tutte le ordinate dei punti [...]

Fammi capire: tu sostieni che \[\displaystyle \int_{0}^{1} x \; dx =\sum_{x \in [0,1]} x \]
?
E quindi ne dedurresti che \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} < \int^{1}_{0} x \; dx \]
?
Ti consiglio di (ri)guardare bene la costruzione dell'integrale di Riemann e, perché no, anche il concetto di convergenza uniforme (dell somme di Riemann).

Risponderò anche all'altra questione.

[sheldon1]

beh no in effetti stiamo sommando le aree dei rettangoli nell'integrale di rieman, e quindi se la base del rettangolo è 0 l'area sarà ovviamente 0, giusto scusami per la domanda scusami