Integrale impoprio esame

[AlexlovesUSA]

Ciao a tutti. Oggi ho fatto l'esame di analisi 1 e l'ho superato ma non sono arrivtato a finire un integrale improprio e per questo voglio farlo quì con voi anche perchè ho dei dubbi. L'in è il seguente $ int_(-oo)^(+oo) 1/(sqrt|x|)sin(1/(x^2-1))dx $.
Allora sicuramente dobbiamo studiare per x-> $+oo$ e $-oo$. Il dominio della funizione è $x!=0$ per via della radice e per $x=+-1$.
Per $x->+oo$ abbiamo $1/(sqrtx)1/(x^2)$ e quindi $1/(x^(5/2))$. Converge. Lo stesso per $x->-oo$ abbiamo $-1/(x^(5/2))$. Per $x->+-1$ non saprei cosa fare. Come procedo?

[robbstark1]

Per $x->+-1$ la funzione integranda oscilla, in ogni caso resta limitata. Questo dovrebbe garantire la convergenza dell'integrale. A volere essere precisi io spezzerei l'integrale in 5 pezzi: da $-infty$ a $-1-epsilon$, da $-1-epsilon$ a $-1+epsilon$, da $-1+epsilon$ a $1-epsilon$, da $1-epsilon$ a $1+epsilon$, da $1+epsilon$ a $+infty$. Il primo e l'ultimo hai dimostrato che convergono, il terzo è un banale integrale di funzione continua su intervallo limitato. Ciascuno degli altri due integrali ha un valore compreso tra $-2epsilon$ e $+2epsilon$. Poi fai tendere $epsilon->0^+$ e concludi.

[AlexlovesUSA]

E per $x->0$ non c'è niente? Non capisco come oscilli l'integale visto che sostituendo per esempio +1 o -1 viene $sin+oo$. Potresti perfavore essere un po più dettagliato?
Grazie per la risposta

[stefano_89]

"AlexlovesUSA":E per $x->0$ non c'è niente? Non capisco come oscilli l'integale visto che sostituendo per esempio +1 o -1 viene $sin+oo$. Potresti perfavore essere un po più dettagliato?
Grazie per la risposta

Nel senso che è proprio il seno ad oscillare e restare limitato tra -1 e +1

[AlexlovesUSA]

Ah ok certo. Solo che pensavo che non esiste il limite per $x->+oo$ di $sinx$ visto che il seno è definito su tutto $RR$ ma non in $+-oo$.
Per $x->0$ non lo devo fare?

[robbstark1]

Sì, ho dimenticato il punto $x=0$. Qui si applica il criterio dell'ordine di infinito. Viene ordine $1/2$ per cui converge. Quindi nel complesso l'integrale improprio dovrebbe essere convergente.