Integrale [hint]
L'integrale da risolvere è
$int_0^oo(senx)/(x(1+x^2)^2)dx$
Introduco la funzione $f(z) = e^z/(z(1+z^2)^2$ le cui singolarità sono $ 0 +i -i $. Calcolo l'integrale della $f(z)$ usando il teorema dei residui
lungo questa curva. Il residuo in +i (polo secondo ordine), a meno di calcoli errati, mi viene $-e^i/4$. Qualcuno conferma? Dopo di che spezzo l'integrale lungo le quattro curve
$int_(gammaR)f(z)dz + int_-r^-R(e^x)/(x(1+x^2)^2)dx + int_(gammar)f(z)dz + int_r^R(e^x)/(x(1+x^2)^2)dx$
Facendo il limite di r che tende a zero e R che tende ad infinito, il primo integrale per il lemma di jordan viene $0$ e il terzo integrale per il quarto lemma mi viene $ipi$. Adesso onestamente non so cosa fare per continuare, in quanto mi verrebbe un integrale tra $-oo$ a $+oo$ quando l'integrale di partenza era tra
$0$ e $+oo$, e la funzione non è pari.
Qualcuno mi aiuta a capire cosa devo fare?
Grazie come sempre.
$int_0^oo(senx)/(x(1+x^2)^2)dx$
Introduco la funzione $f(z) = e^z/(z(1+z^2)^2$ le cui singolarità sono $ 0 +i -i $. Calcolo l'integrale della $f(z)$ usando il teorema dei residui
lungo questa curva. Il residuo in +i (polo secondo ordine), a meno di calcoli errati, mi viene $-e^i/4$. Qualcuno conferma? Dopo di che spezzo l'integrale lungo le quattro curve
$int_(gammaR)f(z)dz + int_-r^-R(e^x)/(x(1+x^2)^2)dx + int_(gammar)f(z)dz + int_r^R(e^x)/(x(1+x^2)^2)dx$
Facendo il limite di r che tende a zero e R che tende ad infinito, il primo integrale per il lemma di jordan viene $0$ e il terzo integrale per il quarto lemma mi viene $ipi$. Adesso onestamente non so cosa fare per continuare, in quanto mi verrebbe un integrale tra $-oo$ a $+oo$ quando l'integrale di partenza era tra
$0$ e $+oo$, e la funzione non è pari.
Qualcuno mi aiuta a capire cosa devo fare?
Grazie come sempre.
Risposte
"emitrax":
L'integrale da risolvere è
$int_0^oo(senx)/(x(1+x^2)^2)dx$
Introduco la funzione $f(z) = e^z/(z(1+z^2)^2$ le cui singolarità sono $ 0 +i -i $. Calcolo l'integrale della $f(z)$ usando il teorema dei residui
lungo questa curva. Il residuo in +i (polo secondo ordine), a meno di calcoli errati, mi viene $-e^i/4$. Qualcuno conferma? Dopo di che spezzo l'integrale lungo le quattro curve
$int_(gammaR)f(z)dz + int_-r^-R(e^x)/(x(1+x^2)^2)dx + int_(gammar)f(z)dz + int_r^R(e^x)/(x(1+x^2)^2)dx$
Facendo il limite di r che tende a zero e R che tende ad infinito, il primo integrale per il lemma di jordan viene $0$ e il terzo integrale per il quarto lemma mi viene $ipi$. Adesso onestamente non so cosa fare per continuare, in quanto mi verrebbe un integrale tra $-oo$ a $+oo$ quando l'integrale di partenza era tra
$0$ e $+oo$, e la funzione non è pari.
Qualcuno mi aiuta a capire cosa devo fare?
Grazie come sempre.
$int_0^oo(senx)/(x(1+x^2)^2)dx=1/2*int_{-infty}^oo(senx)/(x(1+x^2)^2)dx$. Ora applichi i residui però
$f(z) = e^(iz)/(z(1+z^2)^2$
Si scusa. Ho dimentico la i.
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