Integrale Help $int(1+(2cosx)^(3/2)) dx $

[ciccioangemi1]

salve a tutti ho provato a svolgere questo integrale ma arrivo ad un vicolo cieco.. help please..

$int(1+(2cosx)^(3/2)) dx $

[bartofra]

Non mi sembra particolarmente difficile. Dove è che ti blocchi?

[Zkeggia]

Non ho svolto i calcoli perché mi sono bloccato a causa del fatto che a un certo punto avrei dovuto fare la radice di un numero negativo. Al che l'ho dato in pasto a Wolfram, che l'ha risolto con funzioni speciali. Ti linko la pagina: http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... 282cosx%29^%283%2F2%29&random=false

Mi sa che non è elementarmente integrabile. Da dove l'hai preso?

[ciccioangemi1]

QUESTO INTEGRALE VENIVA FUORI DA UN INTEGRALE DOPPIO ASSEGNATO IN UN COMPITO D'ESAME DI ANALISI2 .
VI DO IL TESTO AL SUO COMPLETO.

$int int 1/(x^(2) +y^(2))^(1/4) dxdy$


IL DOMINIO è :
${ ( x^(2) + y^(2) + 2x leq0 ),( x^(2) + y^(2)geq 1):}$

essendo due circonferenze ho usato il cambiamento in coordinate polari ma arrivo come vi dicevo ad un vicolo cieco..

[Zkeggia]

Ma sei sicuro fosse quello il dominio? perché se si passa in coordinate polari si vede subito che deve essere

$rho<= - cos (alpha)$ e $rho>= 1$, che è assurdo...

[ciccioangemi1]

stessa cosa che ho proprio pensato io.. ho il testo davanti.. e che magari ce stato un errore di stampa all'epoca di questo scritto?

[Zkeggia]

Sospetto proprio di sì. Anzi, quasi sicuramente la seconda condizione dell'insieme sarà $x^2 + y^2 <=1$, invece di $x^2 + y^2 >=1$ perché ha molto più senso prendere l'interno della sfera di raggio 1, piuttosto che il suo complementare.

[adaBTTLS1]

guardate, se considerate $alpha in [2/3pi,pi]$, risulta $rho in [1, 2cos(pi-alpha)]$, o anche "negativo" come avete scritto voi (però il doppio), con $alpha$ nel secondo quadrante. analogamente si può impostare per l'altra parte nel terzo quadrante.

[Zkeggia]

Sì ma se $rho$ deve essere maggiore di 1, è inutile stare a vedere quando $rho < - cos alpha$, che al più ci dice $rho < 1$, per quello che eravamo turbati... Se però si prende appunto l'interno della sfera di raggio 1 si possono fare esattamente le tue considerazioni.

[adaBTTLS1]

c'è un "2" che avete trascurato. se prendi un punto sulla circonferenza $x^2+y^2+2x=0$ esterno alla circonferenza $x^2+y^2=1$ e lo unisci con $(0,0)$ e con $(-2,0)$, si forma un triangolo rettangolo di ipotenusa $2$.

[Zkeggia]

Ah cavolo il due non l'avevo proprio visto. Allora sì, così torna!

Ma a me viene che $alpha in (0, (pi)/6)$ e dunque $(rho)/2 <= -cos ( pi - alpha)$, torna?

Analogamente per il quarto quadrante si avrà $alpha in (11/6 pi , 2pi)$

[ciccioangemi1]

allora è venuto completamente diverso a come avevo impostato il problema.
in definitiva devo spezzare il dominio in diversi sottoinsiemi oppure ho capito mle?

[Zkeggia]

In definitiva hai che $alpha$, dovendo $rho$ essere maggiore di 1, soddisfa la disequazione $rho <= -2 cos alpha$, solo per gli $alpha in (5/6 pi,7/6 pi)$, in questi intervalli infatti si ha $cos alpha < - 1/2$. Torna?

[adaBTTLS1]

no, i quadranti sono II e III, il calcolo per l'accertamento "geometrico" riguardava angoli di I e IV quadrante, ma date le relazioni della funzione coseno, credo che non ci sia alcun problema a considerare $alpha in [2/3pi,4/3pi], rho in [1, -2cosalpha]$.

[Zkeggia]

Sì ho sbagliato a contare quando $cos alpha < -1/2$, che cavolata. Chiaramente si ha $rho <= -2 cos alpha$ per gli alpha in $(2/3 pi, 4/3 pi)$. Alla fine è 3 post che cerco di scriverlo e sbaglio sempre qualcosa... giornata storta! Grazie ada per le correzioni.

[adaBTTLS1]

prego.

[ciccioangemi1]

usando questi estremi di integrazione $α∈[2/3π,4/3π],ρ∈[1,-2cosα]$ arrivo sempre al benedetto integrale di partenza. quello che avevo scritto nel primo post.
quindi adesso il problema è andare a svolgerlo..

[Zkeggia]

Se Wolfram dice che ci vogliono le funzioni ellittiche difficilmente sbaglia... non saprei... molto strano.

[adaBTTLS1]

ho provato a fare un controllo, e mi pare che tu abbia cambiato segno, ma non si può, perché un segno "meno" è sotto radice quadrata: la funzione integranda dovrebbe essere $2/3[(-2cosalpha)^(3/2)-1]$. ricontrolla. ciao.