Integrale generalizzato parametrico

[fra891]

Ciao ho risolto questo integrale generalizzato

$\int_{0}^{\infty}( 1-e^(-3x))/(x^a(x^2+1) dx$

e come soluzione per x che tende a $0^+$ mi vine $a<=2$ penso che sia giusto.
Ho usato taylor in x0=0 al il numeratore e mi viene:

$3x+(9x^2)/2$ e al denominatore mi resta $x^a$....praticamente questa

g(x)= $[3x+(9x^2)/2] / x^a $

Per x che tende all'infinito non riesco proprio a capire come fare...

[stefano_89]

per $x-> +\infty$ ti trovi nella situazione: $g(x) = 1/(e^(3x)x^(2 + a))$, e sapendo che l' esponenzione è un infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi polinomio in x. Poi dire che converge per ogni $a$

[Relegal]

Non vorrei sbagliare, ma penso che per $x->0^+$ la soluzione sia $a<2$ e non $a<=2$. Può essere ?

[fra891]

Grazie tantissime... Ho capito. Mi potreste dare una mano anche su questo :

$int_{0}^{1/2} ((sinx^a)^4 )/ (x(xlog(1+x^3))^(a^4)) dx$

Inizierei con $x->0^+$

$g(x)= x^(4a) / (x[(x(x-x^2/2)^3)^(a^4)])$

semplificando avrei $g(x)=(x^(4a))/(x*((x^2-x^3/2)^3)^(a^4))$


Adesso risolvo il cubo del binomio? Mi poteste mostrare il seguito perchè l'ho anche risolto ma volevo vedere qualcuno di più affidato ...

[fra891]

Allora ho provato a rinontrollare e rifarlo:

risolvo il cubo del binomio:

al numeratore resta $x^4a$
al denominatore : $ x*(x(3x-3x^2/2+x^3))^(a^4) $

Adesso ogni esponente del denominatore è moltiplicato per $a^4$ tranne x giusto ? Allora prendo tutti gli esponenti del denominatore moltiplicati $a^4$ tranne la x fuori la parentesi che ha come esponente 1 meno quello del numeratore e pongo tutto < 1... Vi prego aiutatemi!!!

verrebbe $9a^4 -4a +1 < 1 $ ....