Integrale generalizzato in 2 modi diversi

[serafila]

Ciao a tutti, devo calcolare questo integrale generalizzato, ho trovato un modo semplice per calcolarlo e adesso sto cercando un secondo modo di calcolarlo, ma incontro difficoltà con gli o-piccoli. Posto i 2 modi:

$\int_{0}^{3} log^2x dx$

1 modo: perché

$log^2x/(1/x^a) = x^a*log^2x=Z $ . Per x--->0 Z=0 se a>0 ;$ Z=infty$ se a<0

Scelgo a<1, per esempio a=1/2

$log^2x/(1/x^(1/2)) $ --->0 per x--->0 . Quindi log^2x $in o(x^(-1/2)) $ . Ora $ 1/x^(1/2) $ è integrabile in 0. Quindi anche $ log^2x$ è integrabile in 0.

E questo è il primo modo e mi sembra giusto.

2 modo (cerco di usare gli sviluppi asintotici):

$log(x+1)= x+o(x) $
$logx=x-1+o(x-1)$
$ log^2x=(x-1+o(x-1))^2= x^2+1+o(x-1)^2-2x+o(x(x-1))+o(x-1)=1-2x+x^2+o(x-1)+ o(x(x-1)) $
+o(x(x-1)) non so perché ma non si vede

Ma come mi comporto con o(x-1) e con o(x(x-1))? E se avessi o(x-1)^2=o(x^2+2x+1) ?
Credo che non posso sostituire o(x-1) con o(x) e o(x^2+2x+1) con o(x^2). Se mi viene fuori o-piccolo di una somma cosa faccio? Aspetto aiuto.

[serafila]

Qualcuno sa rispondere?

[Noisemaker]

1) perchè gli $o-$piccoli?
2) in che modo l'hai calcolato?

[serafila]

Il primo modo è giusto? A me sembra di si.
Ho provato con un secondo modo usando lo sviluppo asintotico del logaritmo. E' un tentativo.

t--->0
$log(t+1)= t+o(t) $ (sviluppo del logaritmo). Pongo t+1=x , t=x-1 , t--->0 x--->1
$log(x)=x-1+o(x-1)$

E poi vado avanti come ho scritto prima.

Dovrei ottenere

$\int_{1}^{4} 1-2x+x^2+o(x-1)+ o(x(x-1)) dx$

E poi uso "integrale della somma"="somma degli integrali" e mi viene la somma di 3 costanti finite più l'integrale degli o-piccoli che non so come fa. Forse sto sbagliando

[Noisemaker]

allora guarda, tramite integrazione per parti, hai che
\begin{align}
\int_{0}^{3}\ln^2 x\,\,dx=\left[ x\left(\ln^2x-2\ln x+2\right)\right]_{0}^{3}=3\left(\ln^23-2\ln3+2\right)-\lim_{k\to0^+} k\left(\ln^2k-2\ln k+2\right)=C-0=C
\end{align}
dunque in base alla definizione di integrale improprio, hai che l'intrale converge.

Lo sviluppo del logaritmo che hai fatto non è corretto: il log in $0$ non è derivabile (poichè non esiste!) come fai a fare lo sviluppo di Taylor? anche poni $x=t+1,$ quando $t\to-1$ hai che $\ln(t+1)$ in $t=-1$ non esiste e sei punto e capo!